数学・収束半径について。

質問

収束半径の問題についてです。

画像の問題のできるだけ詳しい回答をお願いします。
短文ですみませんがよろしくお願いします 。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

1. exp(x)=Σ[n=0→∞] x^n/n! ですので、
　　cosh(x)
=(1/2){exp(x)+exp(-x)}
=(1/2)Σ[n=0→∞] {x^n+(-x)^n}/n!
=(1/2)Σ[m=0→∞] 2×x^(2m)/(2m)!　　（xの奇数乗の項は係数が正負逆で消えるから。）
=Σ[n=0→∞] x^(2n)/(2n)!　　　　　　（文字ｍをｎに書き換え）
=1+x^2/2!+x^4/4!+x^6/6!+・・・+x^(2n)/(2n)!+・・・

2. d{cosh(x)}dx=sinh(x) ですので、
　　sinh(x)
=(d/dx) Σ[n=0→∞] x^(2n)/(2n)!
=Σ[n=1→∞] (d/dx) x^(2n)/(2n)! + (d/dx) x^0/0!　　（∵ x^k (k≧1)は実数全体で一様収束するので、項別微分から。）
=Σ[n=1→∞] 2n×x^(2n-1)/(2n)! +0　　
=Σ[n=1→∞] x^(2n-1)/(2n-1)!
=Σ[n=0→∞] x^(2n+1)/(2n+1)!　　　　（ｎを1つずらす。）
=x+x^3/3!+x^5/5!+x^7/7!+・・・+x^(2n+1)/(2n+1)+・・・

3. ∫cosh(x)dx=sinh(x)+C ですので、
　　sinh(x)
=∫cosh(x)dx
=∫dx Σ[n=0→∞] x^(2n)/(2n)!
=Σ[n=0→∞] ∫dx x^(2n)/(2n)!　　（∵　項別積分から。）
=Σ[n=0→∞] x^(2n+1)/(2n+1)!+C　（C:積分定数）

　ところで、x=0 のときsinh(x)=0, Σ[n=0→∞] x^(2n+1)/(2n+1)!=0 なので　C=0

∴sinh(x)
=Σ[n=0→∞] x^(2n+1)/(2n+1)!
=x+x^3/3!+x^5/5!+x^7/7!+・・・+x^(2n+1)/(2n+1)+・・・