収束半径のことですが の収束半径を求めなくてはならないのですが、求め方が分かりませ

質問

Σ{ (x^n) / (logn)^(logn) } ( n = 2,3,4,5,.... )
の収束半径を求めなくてはならないのですが、求め方が分かりません。
是非教えて下さい。

回答No.2

KappNets

私は数学者ではないので証明はラフなところがあります。分かりやすさを追求するためにテーラー展開を多用します。
(1) １に収束するかどうかは計算ソフトでnを増しながら確認しました。n=1000000で1.000となりました。(小数点以下４桁目が小さいという意味です)
(2) log(n)/log(n+1)はn=400で=1.000となります。対数の性質で「１」の重みはnの増加とともに減少するわけです。いつまでも電卓頼りではまずいですね！　展開公式は ln(1+n)-ln(n) = 1/n です。
(3) ln(n+1)=ln(n)+1/n=y+d、ln(n)=y と変数を書き換えます。d(=1/n) は小として
(ln(n+1)^ln(n+1))/(ln(n)^ln(n))=(y+d)^(y+d)/y^y=1+(1+ln(y))*d
となりますので、nが無限大になるとやはり「１」に近づきます。

回答No.1

KappNets

私は専門家ではありませんので岡目八目。ダランベールの収束判定法で:
L=c(n+1)/c(n)=((log(n))^(log(n)))/((log(n+1))^(log(n+1)))
はnを無限に持っていくとL=1に収束する。従って収束半径は1/L=1。これではいけませんか。

お礼

ありがとうございます。
((log(n))^(log(n)))/((log(n+1))^(log(n+1)))
はｎ→∞なら１なのでしょうか。