自力で色々と考えてみたのですが、どうしても納得のいく答えが出せずかなり

質問

自力で色々と考えてみたのですが、どうしても納得のいく答えが出せずかなり困っています。皆様のお知恵を拝借できればと思い投稿させていただきました。

Kp(a)= 1/{(p+1)(p+3)} * a^(p+3)

と定めるとき、0<a<1の条件で

Σ(p=0 → ∞) Kp(a)をaを使った式で表せ、

という問題なのですが、等比数列の和を求める方式を応用し、以下のように計算してみました。

Kn(a) = (a^3)/3 + (a^4)/8 + (a^5)/15 + ・・・ + {a^(n-1+3)}/(n-1+1)(n-1+3) + {a^(n+3)}/(n+1)(n+3) ・・・(1)

{(n+1)(n+3)a}/(n+2)(n+4) * Kn(a) = (a^4)/8 + (a^5)/15 + ・・・ + {a^(n-1+3)}/(n-1+1)(n-1+3) * {(n+1)(n+3)a}/(n+2)(n+4) + {a^(n+3)}/(n+1)(n+3) * {(n+1)(n+3)a}/(n+2)(n+4) ・・・(2)

この式は計算すると分かりますが、各項の分母はnに応じて変化するため、そのままでは等比級数の和を求めるやり方が適用できません。そこで、分母をそろえるために{(n+1)(n+3)a}/(n+2)(n+4)を両辺に掛けたものを用意しました。

(1) - (2)を行うと
{1-{(n+1)(n+3)a}/(n+2)(n+4)} Kn(a) = (a^3)/3 - {a^(n+4)}/(n+2)(n+4)
となると思うのですが、実際に0<a<1となる値を代入して適宜pを変えて計算すると収束しているように見えません。

ここ数日ずっと悩んでるのですが、糸口が掴めず困っております。
どなたかヒントでも構いませんので、ご教授いただければ幸いです。

以上宜しくお願い致します。

回答No.4

noname#121794 · ベストアンサー

思いつくのは大変だと思うが
Σ(p=0 → ∞) Kp(a)の値は　f(x)=-{log((1-ax)/a)}/2,として
a^2(f(1)-f(0))-(f(1)-f(0)-f'(0)-f''(0)/2)である。
つまりこれを計算して{2(1-a^2)log(1-a)＋2a＋a^2}/4 となる。
(計算間違いしている可能性があるかも)
君のやったやり方とはまったり違うが、知っておいた方がいいかもしれない。
実はテイラー展開を用いてできる。(ここから説明)
f(x)=-{log((1-ax)/a)}/2とおく。(ここがかなりのテクニックを要した)
f'(0)=a/2 f''(0)=(a^2)/2
f'''(0)=a^3 f^4(0)=3a^4
・・・・・・
f^(p＋1)(0)=(p!a^(p＋1))/2,　　　f^(p＋3)(0)= ((p＋2)!a^(p＋3))/2

f(x)をx=0のまわりでテイラー展開(マクロリーン展開)をして
f(x)=f(0)＋f'(0)x＋(f''(0)x^2)/2!＋・・・・・＋(f^(p＋1)(0)x^(p＋1))/(p＋1)!
＋・・・＋(f^(p＋3)(0)x^(p＋3))(p＋3)!＋・・・・・・・

ここでx=1としてうまくまとめると
f(1)=f(0)＋{a＋a^2/2＋a^3/3・・・・＋a^(p＋3)/p＋3＋・・・・・}/2 ・・・・・(ア)
a^2f(1)=a^2f(0)＋{a^3＋a^4/2＋・・・・＋a^(p＋3)/p＋1＋・・・・}/2 ・・・・・・(イ)
また
Kp(a)＝1/{(p+1)(p+3)} * a^(p+3)＝a^(p+3){(1/p＋1)-(1/p＋3)}/2より
Σ(p=0 → ∞) Kp(a)
＝Σ(p=0 → ∞) a^(p+3)/2(p＋1)-Σ(p=0 → ∞) a^(p+3)/2(p＋3)
(イ)より
Σ(p=0 → ∞) a^(p+3)/2(p＋1)＝a^2(f(1)-f(0))
(ア)より
Σ(p=0 → ∞) a^(p+3)/2(p＋3)＝f(1)-f(0)-(a＋a^2/2)/2
したがって
Σ(p=0 → ∞) Kp(a)
＝a^2(f(1)-f(0))-(f(1)-f(0)-(a＋a^2/2)/2)
君のやっていることとは反れてしまっているが、他の回答者からのヒントをもらってやってくれ。
ここでは違う方法でもできることを述べてみた。

お礼

懇切丁寧な解説ありがとうございました。
筋道が見えてきたので、これを元にして解いてみたいと思います。

回答No.3

Tacosan

絶対収束することを確認して微分するとか.

回答No.2

Mr_Holland

Kp(a)= 1/{(p+1)(p+3)} * a^(p+3)　を部分分数分解して整理すると、Σ[p=0→∞] Kp(a)はつぎのように表せます。

　　Σ[p=0→∞] Kp(a)
=(1/2)Σ[p=0→∞] a^(p+3) {1/(p+1)-3/(p+3)}
=(1/2){a^2 Σ[p=1→∞] a^p/p -Σ[p=3→∞] a^p/p}
=(1/2){(a^2-1)Σ[p=1→∞] a^p/p +a+a^2/2}
=(1/2){(a^2-1)log{1/(1-a) +a+a^2/2}
　（∵ log{1/(1-a)}=Σ[p=1→∞]a^p/p ）

お礼

ありがとうございます。
出発点から間違っていたようなので、この内容を手がかりにして解いてみたいと思います。

回答No.1

rabbit_cat

もう一度冷静に考えてみてください。

(1)の両辺に
{(n+1)(n+3)a}/(n+2)(n+4)
をかけても(2)にはなりませんよ。

nは定数なんですから、たとえば
(a^3)/3
に {(n+1)(n+3)a}/(n+2)(n+4) をかけたら、
a^4/3*(n+1)(n+3)/(n+2)(n+4)
になるだけで、 a^4/4 にはなりません。

お礼

仰るとおりですね。
完全に勘違いしていたようです。
ご指摘ありがとうございました。