波の進み方について

質問

波の進み方について

媒質1が下にあって、媒質2がその上に重なっている時、媒質1のAから二つの媒質の境界にあるCを通って媒質2のBへと波が進む問題で、AB間の水平距離はL[m]で、Aから境界までがL1[m]、境界からBまでがL2[m]である。点CのAからの水平距離をx[m]とおき、媒質1中での波の速さをv1[m/s],媒質2でのそれをv2[m/s]とするとき以下の問いに答えよ。という問題で、、、

AからBまで最短時間で進むとき、v2/v1はいくらか。という問いにつまずいています。

最短時間はそれぞれ

　T[ac] = √（x^2+L1^2)/v1 T[cb] = √{（L-x)^2+L2^2}/v2

だと思うのですが、、、、

答えは、、

(L-x)/x * √（x^2+L1^2)/√{（L-x)^2+L2^2}

となっています。
なぜ、(L-x)/x がでてくるのかよくわからないし、どうやって考えて導くのかがわかりません。
わかる方、教えてください。

回答No.6

htms42 · ベストアンサー

＞最短時間はそれぞれ
　T[ac] = √（x^2+L1^2)/v1 T[cb] = √{（L-x)^2+L2^2}/v2
だと思うのですが、、、、

違います。これは単に時間です。
欲しいのはＴ[ＡＢ]が最短になる時のｘです。
Ｔ[ＡＢ]＝Ｔ[ＡＣ]＋Ｔ[ＣＢ]
最短になるのは、あるｘのところでです。
ｄＴ[ＡＢ]／ｄｘ＝０
でｘを決める式が出てきます。普通は媒質が先に決まっていますからｖ１、ｖ２は決まっています。ｘが決まりますので経路が決まります。
この問題はｘがｖ１、ｖ２の比で決まるという事を求めようとしています。
（問の立て方はｖ２／ｖ１をｘで表せと逆になっています。）
スネルの法則はこの結果を三角関数で表したものです。
スネルの法則で表すことができるのはどうしてかという問いの答えでもあります。
最短時間で経路が決まるという大きな原理のようなものの応用になっています。
これはまた最小作用の原理などにも繋がっていく考えにもなっています。

反射の場合の「入射角と反射角が等しい」という関係も「可能な経路の中で時間が一番短くなる経路が実現する経路である」という事から出てきます。反射の場合は同じ媒質の中での経路ですから最短距離と最短時間の区別がつきません。でも屈折の場合は最短時間で決まるというのがはっきりします。距離は最短ではありません。直線で行けばかえって時間がかかります。速さが速い方の媒質で時間を稼ぐということで曲がるということが出てきます。
ライフセービングの問題に読み替えて屈折の話が出てくる時もあります。
溺れている人を助けるために岸にいるライフセーバーが走って行こうとしているどういう経路で行けば一番速くいくことができるか
岸を走るのと水の中で泳ぐのと２つの速さがあります。直線でなくて屈折した経路を取らなくてはいけません。

補足

ご回答ありがとうございます。

こういった考え方を知りたかったのです。

回答No.8

htms42

最短時間で行くという条件で経路を決めるというのが質問者様のレベルを超えているということでスネルの法則を使って解答があります。
でも問題は最短時間で経路が決まるという解き方を指定しています。

Ｔ[ＡＣ]＝（√(ｘ^2＋Ｌ１^2)）／ｖ１
Ｔ[ＣＢ]＝（√（(Ｌ－ｘ)^2＋Ｌ２^2））／ｖ２
ｄＴ[ＡＣ]／ｄｘ＝(ｘ／ｖ１)/√(ｘ^2＋Ｌ１^2)
ｄＴ[ＣＢ]／ｄｘ＝－((Ｌ－ｘ)／ｖ２)／√((Ｌ－ｘ)^2＋Ｌ２^2)

この微分は習っておられるのではありませんか。

「ｘを求めよ」ではなくて「ｖ２／ｖ１を求めよ」になっているのはそのあとの計算を楽にするためです。√　をはずす必要がありません。微分さえできれば後の計算は簡単です。

スネルの法則を使うとｘとｖ２／ｖ１の関係は決まります。
でも「そうやって決まったＣの位置が所要時間が最短になるような経路になっている」ことを改めて示さなければいけません。問題文の中に「ＡからＢまで最短時間で進むとき」という指定があるからです。

お礼

何度も回答してくださりありがとうございます。

まさに回答してっくだっさたことを知りたかったのです。

回答No.7

noname#247928

No.3です。僕が問題を読みまちがえてました。

まず１つめ。「v2/v1」のところを「v1とv2」と勘違いしていました。「v2/v1」なら出せます。問題は間違ってないです。

そして２つめ。「答えは、(L-x)/x * √（x^2+L1^2)/√{（L-x)^2+L2^2}」とあったので「最短時間」をそう書いてあるのかと思い、間違っていると言いました。よく見たら、それは答えの「v2/v1」でした。

<求め方>
屈折における最も重要な法則があります。
(α=媒質1での屈折角、β=媒質2での屈折角、n1=媒質1の屈折率、n2媒質2での屈折率)

v1:v2 = sinα:sinβ = n2:n1

これに当てはめると、
v1:v2 = x/√L1^2+x^2 : (L-x)/√L2^2+(L-x)^2

となり、v2/v1に直せば答え通りになるはずです。(L-x)/xはいきなりでてきたのではなく、sinβをsinαで割ったときにでてきたものです。

問題によっては、与えられる値が屈折率だったりします。屈折率は比が逆になるので注意です。

他の回答にある「かかる時間の合計Ｔをxで表してxで微分し、変極点を求める」というのは、おそらく質問者さんの必要なレベルを超えています。これを使って求められるのが上の公式です。そこの証明からさせる問題は稀だと思います。

お礼

何度もご回答ありがとうございます。

レベルを超えているといわれてしまうとそれまでのような気もしますが、、、もっと勉強していきます！

回答No.5

auroray

No.3さんの書いてある通り、
A→C→Bを通る波は１通りしかないので
とりあえず「最短時間」というのは見なかったことにします。

また、No.4さんの
×水平距離→○垂直距離
ですが、これはNo.4さんの間違いだと思うので無視します。

まず、
(L-x)/x
が出てくるのが分からないとのことですが、
これは答えを、√があるものとないもので分けて書いているだけなので
とりあえずそこから目を離しましょう。

答えの求め方は、
おそらく波を学習すると習っていると思いますが、
媒質１から媒質２へと波が入射していくときには

sin(入射角)/v1 = sin(屈折角)/v2

というスネルの法則が成り立ちます。

これは
v2/v1 = sin(屈折角)/sin(入射角)
でも構いません。

入射角・屈折角それぞれのsinをだせば
v2/v1はだせますね！

お礼

ご回答ありがとうございます。

でもなんでその方式が導けるのかということがわからなかったのだと皆さんの回答から気づきました。

回答No.4

okormazd

質問の書き方が，不正確なところがあるようだが，問題に不備はありません。
「AB間の水平距離」→「AB間の垂直距離」
でしょう。
最短時間になるときの，v2/v1を求めろというのだから，AからCを通って屈折してBにいくときの比でしょう。
求め方は，#1さんでいいですね。ちゃんと，
(L-x)/x * √（x^2+L1^2)/√{（L-x)^2+L2^2}
になりますよ。
微分ができなければだめですけどね。
d/dx(T[ac]+T[cb]) = d/dx{√（x^2+L1^2)/v1 = √{（L-x)^2+L2^2}/v2}=0
から，
v2/v1
を求めるだけです。

回答No.3

noname#247928

何か条件を見落としているのでなければ、問題が間違っています。

時間を表す式に、距離である「L」と「x」しか出てこないのはおかしいからです。もし正しいなら、文字ではなく数値で速度が与えられているはずです。
もし「ＡＣ間とＣＢ間でかかる時間は等しい」などの条件があれば、屈折率の関係から求めることはできますが・・・

そもそも、「最短時間で進むとき」という表現が不自然です。波が屈折している場合、最短時間になるように曲がります。ＡからＢに進む場合、進み方は何通りもありません。Ｃを通る１通りだけです。

回答No.2

noname#185706

>T = T[ac] + T[ab]

を

T = T[ac] + T[cb]

と訂正します。

回答No.1

noname#185706

T = T[ac] + T[ab]
が最小となる条件は
dT/dx = 0
です。これから「答え」が得られます。
自分で計算してみてください。

お礼

ご回答ありがとうございます。

計算してみます。