分かる限りで構わないのでお願いします。

質問

分かる限りで構わないのでお願いします。
（http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1248245127を参考に）

以下のような１次元のポテンシャルV（ｘ）中を運動する質量ｍの粒子に関するシュレーティンガー方程式を考える。（V0＝const. > 0、a>）

V(x)=+∞(x<0), 0(0<x<a), V0(a<x)
粒子の束縛状態（0<E<V0）に関して、以下の問に答えて下さい。

(1) 粒子のエネルギーを0<E<V0の範囲に取るとき、適切な境界条件を満たす領域I(0<x<a),II(a<x)の解を書き表し、x=aにおける解の接続条件から、束縛状態のエネルギー固有値を定める方程式を導いて下さい。
(2) V0が非常に大きい場合、基底状態のエネルギー固有値を、微小な無次元のパラメータη=h/√(2mV0a)について１次のオーダーまで近似的に求めて下さい。
（ヒント；1+cot^2x=1/sin^2x を利用）
(3)V0を０から大きくしていくとき、V0の値と束縛状態の個数の関係について考察して下さい。特に束縛状態が１つも生成されないような最大のV0の値Vｃも求めて下さい。

回答No.1

tiaki_m · ベストアンサー

(1)シュレーディンガー方程式
-h/2m・d^2/dx^2ψ=Eψ(0<x<a)
(-h/2m・d^2/dx^2-V0)ψ=Eψ(x>a)

をE<V0の条件で解いて(hはhバーのつもりで)
ψ(x=0)=0を用いると

ψ=Asinkx (0<x<a)
=Be^(-Kx) (x>a)

k=√2mE/h
K=√(2m(V0-E)/h
A,B定数

境界条件を使って計算すると
(とψ(x=a),dψ(x=a)/dxが連続であること)

Asinka=Be^(-Ka)
Akcoska=BKe^(-Ka)

これからABを消去して
tanka=-k/K

(2)
ヒントを用いて変形すると
1/sin^2ka=V0/E-2

V0が十分大きいとき左辺は無限に近いから左辺も無限に近いとして
sinka=kaと近似すると
E=1/2V0(1-h^2/2ma^2V)=1/2V0 (ηの一次のオーダー)

(3)
(2)の式を変形して
0=-1/sin^2ka+V0/E-2

右辺をyとおいてグラフを描くと
E軸との交点の個数が束縛状態の数

微分して最大値を求め、これが0のときがV0=Vc
さらにE→0での極値が0より大きいとき二個
それ以外の場合が一個

たぶんこんな感じです。