この数学の問題がわかりません

質問

mが正の整数のとき、
（ｍ＋２）/（ｍ＋１）の方がｍより√２に近いことをしめしなさい。
がとけません。

｜（ｍ＋２）/（ｍ＋１）－√２｜＜｜ｍ－√２｜
を示そうとして２乗してみたり、割って１以上を示そうとしましたが、なかなかスムーズにいきそうではありませんでした。
なにか無理のない解答はないでしょうか。よろしくお願いします。
また、解答では、

｜（ｍ＋２）/（ｍ＋１）－√２｜｜ｍ－√２｜として計算していくと、
｜（ｍ＋２）/（ｍ＋１）－√２｜＝（√２－１）｜ｍ－√２｜/｜ｍ＋１｜
＜｜ｍ－√２｜
となっていたのですが、確かにそうですが、私にはなぜ｜（ｍ＋２）/（ｍ＋１）－√２｜｜ｍ－√２｜と思いついたのか、わかりませんでした。どのように考えていくとこのように思いつくのか、わかりましたら、教えてください。
どちらか１つでもいいですので教えていただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

ayakakayaさん、こんにちは。
先程も回答したんですが、ちょうど締め切られたあとでした。

＞｜（ｍ＋２）/（ｍ＋１）－√２｜＜｜ｍ－√２｜
を示そうとして２乗してみたり、割って１以上を示そうとしましたが、なかなかスムーズにいきそうではありませんでした

指針は、これでいいと思います。
ややこしそうですが・・

＞｜（ｍ＋２）/（ｍ＋１）－√２｜｜ｍ－√２｜として計算していくと、
｜（ｍ＋２）/（ｍ＋１）－√２｜＝（√２－１）｜ｍ－√２｜/｜ｍ＋１｜
＜｜ｍ－√２｜
となっていたのですが、確かにそうですが、私にはなぜ｜（ｍ＋２）/（ｍ＋１）－√２｜｜ｍ－√２｜と思いついたのか、わかりませんでした。どのように考えていくとこのように思いつくのか、わかりましたら、教えてください。

これについては、|m-√2|をかけないで、そのまま計算してもいいかと思います。

｜（ｍ＋２）/（ｍ＋１）－√２｜＜｜ｍ－√２｜

が示したいので、
|(m+2)/(m+1)-√2|=|{m+2-√2(m+1)}/(m+1)|
=|{(1-√2)m-√2(1-√2)}/(m+1)|
=|(1-√2)(m-√2)/(m+1)|・・（★）

さて、ここで、ｍは正の整数なので、m≧１
ｍ＋１≧２
ですね。
また、１－√２＝－０，４１４２・・
なので、（★）は、
（√2-1)|m-√2|/(m+1)となります。

つまり、
（√2-1)|m-√2|/(m+1)＜｜ｍ－√2｜・・（☆）

を示せばいいことになります。
（☆）を変形して、
｜ｍ－√2|{1-(√2-1)/(m+1)}>0
が言えれば良い。

ここで、｜ｍ－√2|>0 (m+1)>0ですから
１－（√2-1)/(m+1)>0
が言えれば良いですね。

分母（ｍ＋１）＞０なので、
（ｍ＋１）－（√2-1)>0
がいえればいいのですが、

ｍ＋１≧２
√２－１≒０．４１４２・・
ですから、
（ｍ＋１）－（√２－１）≒１．５８５８

となるので０より大きくなり（☆）が示されます。
というわけで、証明されました。

お礼

先ほどは、問題を間違えてしまい、ご迷惑をおかけして、すみませんでした。
いつも回答どうもありがとうございます（＾＾）
今回もとてもわかりやすかったです。ありがとうございました！

回答No.4

pocariblue

若干面倒ですが、解答の方針として、
「ｍ＝１のとき」「ｍ＝２のとき」「ｍが３以上の整数のとき」に、
場合分けをすれば、納得のいく解答が書けるのではないでしょうか。

以下、（ｍ＋２）/（ｍ＋１）＝Ｍと表記します。

ｍ＝１のとき、Ｍ＝3/2です。
　｜Ｍ－√２｜　＜　｜ｍ－√２｜
　を示すことは容易だと思います。

同様にして、ｍ＝２のとき、
　｜Ｍ－√２｜　＜　｜ｍ－√２｜
　であることを示します。

ｍが３以上の整数の場合については、、
　Ｍ＝１＋１/（ｍ＋１）なので、常に１＜Ｍ＜２です。
　したがって、
　　０＜｜Ｍ－√２｜＜１　です。
　一方、
　　１＜｜ｍ－√２｜　です。
　ですから、
　　｜Ｍ－√２｜　＜　｜ｍ－√２｜
　であることは明らかです。

こんな要領で考えてみては如何でしょうか。

お礼

回答どうもありがとうございました！このように考えることもできるのですね。

回答No.3

rei00

簡単な解答を思い付いたんですが，こんなのはどうでしょうか？

i) m ≧ 2 の時
　　m－√2 ≧ 2－√2　・・・（１）

　　(m+2)/(m+1) = 1+1/(m+1) < 1+1/(2+1) < 2
　∴ [(m+2)/(m+1)]－√2 < 2－√2　・・・（２）

　（１），（２）より m ≧ 2 の時，
　　（ｍ＋２）/（ｍ＋１）の方がｍより√２に近い

ii) m = 1 の時
　　[(ｍ+2)/(ｍ+1)]－√2 = 1.5－1.41・・・ = 0.08・・・
　　m－√2 = 1－1.41・・・ = －0.41・・・

　よって，m = 1 の時，
　　（ｍ＋２）/（ｍ＋１）の方がｍより√２に近い

i), ii) より，mが正の整数のとき、
　　（ｍ＋２）/（ｍ＋１）の方がｍより√２に近い

お礼

回答どうもありがとうございました！参考にさせていただきます。

回答No.2

hinebot

まず、ｍは整数なので（ｍ＋２）／（ｍ＋１）は有理数となり、無理数である√２と等しくなることはありません。

(ⅰ) （ｍ＋２）/（ｍ＋１）＜√２のとき
ｍ＋２＜√２ｍ＋√２
（√２－１）ｍ＞２－√２
∴ｍ＞（２－√２）／（√２－１）
＝（２－√２）（√２＋１）／（√２－１）（√２＋１）
＝√２
つまり、ｍ＞√２　となります。ｍは正の整数なのでこれに当てはまらないのはｍ＝１のときだけとなります。

＜参考＞（ⅱ）（ｍ＋２）/（ｍ＋１）＞√２のとき
ｍ＋２＞√２ｍ＋√２
（√２－１）ｍ＜２－√２
∴ｍ＜（２－√２）／（√２－１）＝√２

(1)ｍ＝１のとき
（ｍ＋２）/（ｍ＋１）－√２＝３／２－√２＞０
ｍ－√２＝１－√２＜０
より、
｜（ｍ＋２）/（ｍ＋１）－√２｜－｜ｍ－√２｜
＝３／２－√２－（√２－１）＝５／２－２√２＜０
で成立。

(2)ｍ≧２のとき
(ⅰ)より　
｜（ｍ＋２）/（ｍ＋１）－√２｜－｜ｍ－√２｜
√２－（ｍ＋２）／（ｍ＋１）－（ｍ－√２）
＝２√２－ｍ－（ｍ＋２）／（ｍ＋１）
＝２√２－ｍ－｛１＋１／（ｍ＋１）｝
＝２√２－１－ｍ－１／（ｍ＋１）

ここでｍ≧２なので
２√２－１－ｍ　≦２√２－３＜０
１／（ｍ＋１）＞０　なので
｜（ｍ＋２）/（ｍ＋１）－√２｜－｜ｍ－√２｜
＝２√２－１－ｍ－１／（ｍ＋１）＜０
が言えます。

お礼

回答どうもありがとうございました。とても参考になりました！