数学についての２つ質問です。

質問

数学についての２つ質問です。
以下のような等式が成り立つ理由が分かりません。
どなたかアドバイスお願いいたします。

１．sin^(-1){sin(3π/5)} = sin^(-1){sin(2π/5)} = 2π/5

２．cos^(-1)(cos(3π/7)) = 3π/7

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

逆関数の「^(-1)」は見づらくなりますので、逆三角関数は次のように表すことにします。
　（ちなみに、関数fの右肩についた「^(-1)」は　逆数（1/f)　を表すのではなく　＜逆関数＞であることを表します。）

　　sin^(-1)(x)＝asin(x)　　　・・・　asinはarcsinの略です。
　　cos^(-1)(x)＝acos(x)　　　・・・　acosはarccosの略です。

１．　sin（π－θ)＝sinθ　を利用します。（単位円を書くとわかりやすいです。）
http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Jugyou/Old/5AKiso/kiso08.pdf

　asin{ sin(3π/5) }
＝asin{ sin(π-3π/5) }
＝asin{ sin(2π/5) }
＝2π/5　　　　　　　　∵　asin(x)とsin(x)は互いに逆関数なので。

（参考）
　逆関数とは次のような関係にある関数のことをいいます。
　　f^(-1) {f(x)}＝x

　１．の問題では、　asin{ sin(x) }＝x　となります。

http://nkiso.u-tokai.ac.jp/math/nakamura/jyugyo/gyaku.htm

２．　同様に、逆関数の関係を使います。
　　　acos{ cos(x) }＝x

　　∴acos{ cos(3π/7) }＝3π/7

お礼

URL先の情報が大変わかりやすく、参考になりました。
回答ありがとうございました。

回答No.3

alice_38

逆三角関数の定義が問題です。
sin~(-1)｛x｝とは何でしょうか。
｜x｜≦ 1 を満たす x に対して、
x = sin(y) となる y は複数あります。
その中のどれを sin~(-1)｛x｝の値とするか、
選ぶ規則を決めておかなければ、
逆関数は定義されません。
そこが決まらないと、ひょっとしたら、
sin~(-1)｛sin((2/5)π)｝= (3/5)π,
sin~(-1)｛sin((3/5)π)｝= (2/5)π
かも知れないのです。
sin~(-1) の値をひとつに決めるための、
貴方の定義を補足にどうぞ。
それを明確にすれば、問題はほぼ解決です。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

mamoru1220

三角関数と逆三角関数は打ち消しあう性質はご存知でしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。
それは知っています。ただ、打ち消しあうだけということしか知らなかったため、arcsin(sin(3π/5))はなぜ3π/5　にならないのかと悩んでいました。