|x^2-2x-3|≧3-xの解き方

質問

|x^2-2x-3|≧3-xの解き方
解答では、
3-x≦0のとき
与式は成り立つ
3-x＞0のとき
x^2-2x-3≦x-3　または　3-x≦x^2-2x-3
となっているのですが、これは3-xについて場合分けしなければいけないのでしょうか？
絶対値は0以上だから、3-xが0以下なら不等式は成り立つということはわかるのですが、今回の問題に限らず場合分けなしで、x^2-2x-3≦x-3　または　3-x≦x^2-2x-3だけでやっても同じ答えになる気がします。
教えてくださいm(__)m

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

受験のテクニックや、例題の答えは、ともかく、
数学の話題としては、貴方が言う通り、
｜A｜≧ B を (A ≧ B または -A ≧ B) と
変形するために、B の符号で場合分けする
必要は、特にありません。
B の符号に拘わらず、その変形は、同値変形です。
絶対値の定義を確認すれば、解ることですね。

お礼

すいません、念のため確認させてください。
Bは定数でなくてもいいんですよね？
Bが整式でもこの式変形は場合分けなしで用いていいということですよね？
すいません、不安で…(>_<)

回答No.6

alice_44

不安ですか？
「 B 」だって、変数 B の一次式です。
x の多項式でも、同じことですよ。
絶対値の定義を確認すれば、
安心できると思います。

回答No.4

noname#157574

式変形で解くならば，左辺＝|(x＋1)(x－3)|と変形できるので，
(i)x≦－1,3≦x……(1)のとき
　　x^2－2x－3≧3－x　x^2－x－6＝(x＋2)(x－3)≧0
　　x≦－2,3≦x　(1)よりx≦－2,3≦x……(2)
(ii)－1＜x＜3……(3)のとき
　　－x^2＋2x＋3≧3－x　x^2－3x＝x(x－3)≦0
　　0≦x≦3　(3)より0≦x＜3……(4)
(2)，(4)を合わせて，x≦－2,0≦x……(答)

回答No.3

momordica

> 今回の問題に限らず場合分けなしで、x^2-2x-3≦x-3　または　3-x≦x^2-2x-3だけで
> やっても同じ答えになる気がします。

結論から言えば、必ず同じ答になります。

式がやや分かりにくい形になっているので少し変形させていただきますが、これはつまり
　|x^2-2x-3|≧3-x
という不等式を
　-(x^2-2x-3)≧3-x　または　x^2-2x-3≧3-x
として解いても同じ答えになるか、ということですね。

　-(x^2-2x-3)≧3-x　または　x^2-2x-3≧3-x
という不等式があらわす意味は、要するに、
「-(x^2-2x-3) と x^2-2x-3 のうち、少なくとも、大きい方は （3-x） 以上である」
ということですが、この「-(x^2-2x-3) と x^2-2x-3 のうち大きい方」というのが
すなわち |x^2-2x-3| なので、
　|x^2-2x-3|≧3-x
と意味するところは同じになります。

ただ、質問者さんの書いた
　x^2-2x-3≦x-3　または　3-x≦x^2-2x-3
のような式では、確かに　|x^2-2x-3|≧3-x　と等価ではあるのですが、なぜそのように
してよいと考えたのか、という考え方がまるで見えないので、試験の答案で何の説明も
なしに書けば、減点は避けられないでしょう。

回答No.2

info22_

#1さんも言われているようにこの種の問題はグラフを描いてグラフから
「 x≦-2,　0≦x 」
と範囲が求まります。

添付図は
y=|x^2-2x-3| （黒線）
y=3-x　　（青線）
のグラフで,(黒線)≧(青線)　（黒線グラフが青線グラフより上または一致する範囲）
の範囲（黄色の部分のxの範囲）が求める範囲です。

場合分けは間違いを起こしやすいので必ずグラフを描くべきです。

お礼

画像まで添付してくださりありがとうございましたm(__)m
参考になりました。

回答No.1

spring135

>3-x＞0のとき
x^2-2x-3≦x-3　または　3-x≦x^2-2x-3

変な書き方ですね。

x^2-2x-3≧0のとき　x^2-2x-3≧3-x

x^2-2x-3≦0のとき　-x^2+2x+3≧3-x

と書くべきです。

絶対値に限らずややこしい関数はグラフを描いて考えれば一目瞭然です。

y=|x^2-2x-3|　　　(1)
y=3-x　　　　　　　(2)

を描いて(1)≧(2)の範囲を探せばよろしい。

絶対値の中の正負によって場合わけをして絶対値を外すなんてのは
実戦(入試)では使えません。

お礼

|f(x)|≧(定数)
ならば
f(x)≦-(定数) または (定数)≦f(x)
というのは同値変形なのに、(定数)の部分が(整式)になっているときに(整式)の符号で場合分けがくっついているので、これは必要なのか？と思って質問しました。しかしやはり場合分けをするなら絶対値記号内の式で場合するのが無難みたいですね。
グラフをとらえるのも有効な方法ですよね。
ありがとうございました。