数学の問題の手がかりがつかめない

質問

数学の問題の手がかりがつかめない
こういった質問が載っているのを見たことがないので、御法度なのかな・・・といささか心配ですが、困っているのは確かなので助言お願いします。
中学二年生なのですが、幾何の問題でいくら頭をひねっても分からない(馬鹿です許して下さい)問題があったので、教えていただけないでしょうか。もちろん解法丸ごとなどというただのさぼりのようなことはしません(自力で解いている人もいるのに聞かないとできない時点で・・・)。手がかりや解き方のヒントや大筋だけでよいので、助言お願いします。以下の６問です。

AB=13かつBC=14かつCA=15である△ABCがある。
1.△ABCの垂心をHとすると、AHの長さはいくらか。
2.△ABCの内心をIとする。Iから辺AB、BC、CAに下ろした垂線の足をそれぞれP、Q、Rとすると、AQ、BR、CPは1点で交わることを示せ。
3.△ABCの傍心のうち、直線ABに関して点Cと同じ側にない物をEとする。Eから直線AB、BC、CAに下ろした垂線の足をそれぞれS、T、Uとすると、AT、BU、CSは1点で交わることを示せ。
4.△ABCの外心をOとする。Oから辺BCに下ろした垂線の足をVとするとき、OVの長さを求めよ。
5.AOの長さを求めよ。
6.直線AOとBCの交点をDとするとき、ADの長さを求めよ。

どうぞ助言よろしくお願いします。のべ3日頭をひねったのにできない私は頭やはり悪いのでせうかね・・・。

回答No.3

Kules · ベストアンサー

これが中２で出てきますか…ひょっとして中高一貫ですかね？
中高一貫の場合中学→高校の指導要領は往々にして無視されますし、数学が中学から代数と幾何で同時進行で進んでたりしますし。

さて、これらの問題を解く上では、
・三平方の定理
・√の扱い
・角の二等分線の定理
・チェバの定理
・円周角の定理
・円の接線の定理？(名前忘れた)
・平行線と比
・三角形の相似

辺りが使える必要があります。これらを一切使わないで解けと言われたら…私もちょっと無理です。

(1)BH=xとおくとCH=14-x、△ABHと△ACHは直角三角形なのでそれぞれで三平方の定理の式を書き、AHを消去するとxが求まる。xが分かればAHも求まる。

(2)(1)でAHが求まっているので、三角形の面積が求まる。内接円の半径をrとすると、IP=IQ=IR=rで、△ABC=△IAB+△IBC+△ICA=r*(AB+BC+CA)/2なのでrが求まる。
次に、角の二等分線の定理により、直線AIとBCの交点をXとすると、BXの長さが求まる。BHは(1)で求まっているので、XHの長さも求まる。IQ//AHよりXQ:XH=IQ:AH。これよりXQが求まるため、BQ:QCが求まる。
同様のことをして、CR:RA,AP:PBも求まる。AP/PB*BQ/QC*CR/RA=1が成り立てば、チェバの定理の逆よりAQ,BR,CPが一点で交わることが示せる。

(3)傍接円が何であるかはわかっている前提で書きます。
方針は(2)と同じくチェバの定理の逆を使います。AS/SB*BT/TC*CU/UA=1が成り立てばよいことになります。今回のポイントとしてはS,T,Uは全て傍接円と各直線の接点であるため、UA=AS,SB=BTが成り立ちます。これを使えば証明できると思います。

(4)方針は相似な三角形を見つけることです。BからACに下ろした垂線の足をJとします。
△OBVと△OCVは合同な三角形(証明は書きませんが図を描けばわかりますよね？)なので∠BOV=∠BOC/2
また円周角の定理により∠BAC=∠BOC/2なので∠BOV=∠BACです。また∠OVB=∠AJB=90°なので△AJB∽△OVBとなり、AJ:JB=OV:VBよりOVが求まります。

(5)△OVBに三平方の定理を使えばOB(=OA)の長さが求まります。

(6)AHとOVの長さの比から、DHとDVの長さの比が求まります。VHの長さはBH-BVで出せますので、DHの長さは比較的すぐに出ます。△AHDに三平方の定理を使えばADの長さが出ます。

最後に、
>のべ3日頭をひねったのにできない私は頭やはり悪いのでせうかね・・・。
図形問題は解き方が独特だったりしますし、特に(4)なんかはそうそう思いつくものでもありません。
大事なのは、これと同じ問題や似たような問題が出た時に、今回の解法に思いをめぐらすことができるかどうか(３つの直線が交わることの証明→チェバの定理の逆を使おうかな、と思う　など)です。

以上、参考になれば幸いです。

お礼

なんと、こんなにも早々にすべてに明快な解答を下さるとは・・・。
本当に助かりました、ありがとうございます。感謝しています。
円の接線の定理というのは接弦定理のことであると思われます。
ただ残念ながら円周角の定理および接弦定理は(学校では)習っていないんですよね。その部分はどうすれば埋められるか、しっかり考えてみます。きっとkulesさんの解説から察するに、大分経験と学問を積まれているようで、こんな中坊の質問にわざわざ目をとめて下さって、ありがとうございました！
本当にどうもありがとうございました。

回答No.2

sak_sak

1問目は三平方の定理(Pythagorasの定理)を使いますが、ご存知ですか?

お礼

えーっと、三平方の定理の利用は考えましたが、あなたがおっしゃるような正しい解法につながる方法かどうかは、残念ながら・・・

回答No.1

noname#157574

三角形の五心に関しては，高等学校「数学A」の単元「平面図形」で習います。中学2年では解けなくて当然です。

お礼

そうですか！やっぱそうですよね！すごく同感なんですが、学校の宿題なんです！
とある私立で、こんな問題が中２で出て、解けるなら頭いいぞーっつって自慢できるんですが、解けないんですよね！
お願いですだれか教えてください！

補足

実は、とある一貫校でカリキュラムが馬鹿みたいに無視されるので、五心とかはもうやってます。
ただ逆に中２になって１次関数をやってなかったりなど、結構得でもありません。

あとkules↓さん、書く場所が無くなった(お礼も補足もしてしまった)のでこちらに書かせて頂きますが、接弦定理は間違いでしたすみません！どうやら定理名無しにフレーズだけ扱うもののようです。
「円外の一点から引いた二つの接線の長さは等しい」
ということだそうです。(もう一度このページのこの部分を見て下さることは・・・ないですよね・・・)