正比例の問題が分からないのが、分かりません。

質問

正比例の問題が分からないのが、分かりません。
中学２年生の家庭教師をしています。
ｙがｘに正比例し、ｘ＝３のときｙ＝－１８である。
ｙをｘで表せ。また、ｘ＝－２のときｙの値を求めよ。
という問題で、
ｙ＝－６ｘ
までは解けるのですが、このｘに－２を代入するというのがどうしても理解できないようです。
ｙ＝－３ｘ
と解答してしまいます。
理由を尋ねても、黙り込んでしまって明確には分かりません。
ｘに－２を当てはめればいいんだよ、と言っても納得しないし、「ｙの値を求めよ」と聞かれているから具体的な数字になるんだよ、と説明しても納得いかない様子です。
想像でいいので、この生徒はどういう思考をしていると考えられるでしょうか？
答えにくい質問であるのは承知の上、相談させて頂きます。

回答No.7

masudaya · ベストアンサー

例えば，
ｙがｘに正比例し、ｘ＝３のときｙ＝－１８である。
ｘ＝２のときｙの値を求めよ。

であればわかってもらえるのでしょうか？
それならば，

x -3 -2 -1 0 1 2 ___3 4
y ** ** ** 0 * * -18

などという表を作って埋めてみたらいかがでしょうか.

x -3 -2 -1 0 1 ___2 ___3 4
y ** ** ** 0 * -12 -18

と言う表が作れたなら，xが一つ増えるごとにyがどれくらい増えるか
と言うことから考えて順に表を埋めていってみれば良いかと思います.
まずは早さよりも理解が大事ですので，ゆっくり時間をかけてみるのもいいかと思います.
その段階を通してy=axを理解してもらうことが良いかと思います.
表だけでは，xが実数の場合対処できなくなるので，理解できたと思ったら，

ｙがｘに正比例し、ｘ＝３のときｙ＝－１８である。
ｘ＝-２.４のときｙの値を求めよ。

のような問題を通して理解を深めていけばよいかと思います.

次に最初の問題がわからないと言う場合は正比例とは何かから説明して上げてはいかがでしょうか.
具体例(速さと時間と距離の関係やお肉を買うときのはかりと金額の関係などなど)をふんだんに挙げて下さい.
(きっとどれかにぴんとくる物があると思います.)さらにグラフや表など見てわかりやすいものもたくさん書いたり
書かせたりして下さい.

最後にですが，たとえご自身が不安でもその生徒さんに対しては自信のある姿を見せて上げて下さい.
そうでないと，生徒さんも不安になってしまいます.

参考になればいいのですが，

お礼

表を作るというのは試してみようと思います。
ありがとうございます。

回答No.6

tanizakibb

no.4です。

私も、y=(-2)×(-6)=12
恥ずかしながら、なぜプラスの12になるかわかりません。12になるのはわかりますけどなぜプラスになるのか正直わからないというか、考えるのが面倒だし！

こういうう公式というのを覚えてもらうしかないと思います。難しく考えてしまっていると思います。
マイナスとプラスをそれぞれ掛けたり、割ったりしたらプラスになるかマイナスになるか決まり事を覚えてもらう事でいいと思います。中学の数学は基本なのでまずは公式を覚えてもらったらいいのでは、そんなに沢山あるわけではないので。

その説明になると数学者の世界のように思います。

お礼

再びの回答ありがとうございます。
マイナスマイナスがプラスになるのは分かっていると思います。
ただ、正比例の問題については、最終的には、こういうもんだと問題と解答方法を丸覚えしてもらおうかなとも思っています。

回答No.5

noname#164823

正負の計算が理解できていないからのような感じがします。

比例云々以前に、中1年生の正負の加減乗除を解かせてみて
どこまでできるか確認した方が宜しくないですか？

この加減と乗除を、ごちゃごちゃにしている生徒さんはよくいます。
また、係数と項を区別できない生徒さんも結構います。

この生徒さんは、比例はグラフに表せば、まあまあ理解できると
思うのですが。

定数ａとｘをごちゃまぜにして、更に-2を2で割ると思って
単に割ったのではないかと思います。

まず、最初に立ち戻り、正負の計算の復習をした方が
良いのではないかと思いました。

お礼

＞まず、最初に立ち戻り、正負の計算の復習をした方が良いのではないかと思いました。
そう思って、さっそく中１の問題集を渡しました。金曜日に様子を見るつもりです。
ありがとうございます。

回答No.4

tanizakibb

参考にならないかもしれませんが。

昔と今と教え方が違いますので。

y=ax

ax=y

a×3=-18

a=-18÷3

a=-6

y=ax

y=-6×3=-18

y=(-6)×(-2)=12

言葉で説明できませんが、参考になりましたでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞a×3=-18
＞a=-18÷3
これがすぐにできない生徒さんなんです。
＞y=-6×3=-18
＞y=(-6)×(-2)=12
これを説明したら、計算としては理解できるらしいのですが、なぜｙ＝１２になるのかが納得いかないようなのです。
結構、厳しいでしょ？やっぱり教師失格ですかね？

回答No.3

砲術長（@houjutucho）

たぶんその子は、(ｘ,ｙ)で表される変数の概念を
理解出来て居ないのでは、無いでしょうか？
まぁ中学では(ｘ,ｙ)は未知数と教わりますので
今回の与式ｙ＝－６ｘ
この式のｘに、入る数が(－２)ではなく別の数が入ると
思い込んでしまっているのでは、無いでしょうか？
だからこそ(－６)を(２)で割ってしまって、(－３)という
奇妙な答えを出してしまったのだと思います。

この先の事もありますから
ｘに(－２)を代入するでは無くて
ｘが(－２)だった時に、ｙはいくつになるのか？
この様な導き方を、試されては如何でしょうか？

お礼

＞ｘに(－２)を代入するでは無くて
＞ｘが(－２)だった時に、ｙはいくつになるのか？
＞この様な導き方を、試されては如何でしょうか？
試してみます。ありがとうございます。

回答No.2

spring135

数学というものは物事を単純に、単純にして、最も解り易くしたものなのだよということ、難しく考える必要は全くないんだということを教えてあげてください。最も自然に遊びとまったく同じ感覚でやろうと提案してください。

質問者の姿勢にも問題があるのでしょう。「私は数学と言う高尚な学問をお前みたいな子供に教えてやるのだぞ、正座して心して聞くように」なんて態度を見せていませんか。

もう一つは数学はポンチ絵です。グラフで示さなければ意味ありません。生徒にグラフを沢山描かせましょう。

＞ｙがｘに正比例し、ｘ＝３のときｙ＝－１８である。
ｙをｘで表せ。また、ｘ＝－２のときｙの値を求めよ。
という問題で、
ｙ＝－６ｘ
までは解けるのですが、このｘに－２を代入するというのがどうしても理解できないようです。
ｙ＝－３ｘ
と解答してしまいます。

まずいですね。根本的に数学を誤解させています。
グラフを描かせましょう
正比例だから原点を通る（0のとき0）
もう一点が決まれば直線がきます。
他に全く何もない。
それを実感させなければ教師失格です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
グラフを書いて、ｘ＝３のときにｙ＝－１８なら（ここまで理解できてます）、ｘ＝－２のときは、こうやってたどっていけばｙは１２になるでしょう？
と言っても、腑に落ちないようなのです。
回答者様なら納得させられるのでしょうね。うらやましいです。

回答No.1

Peric

たぶんまともに思考できてないと思います。よくわからないから思考が迷走したあげく、なんらかの弾みでy=-3Xとなったのではないでしょうか？

質問者さんがどのように一次関数の説明をしているのか詳しいことはわかりませんが、ただ計算を解かせるのではなく、毎回グラフに書かせて図で見て理解するようにしてはどうでしょうか？
（おそらくもうやってますよね・・・）

y=-6Xという解が導き出せるということは、XやYというものが根本的に理解できていないということはないですよね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
グラフを書いて、ｘ＝３のときにｙ＝－１８なら、ｘ＝－２のときは、こうやってたどっていけばｙは１２になるでしょう？
と言っても、腑に落ちないようなのです。ま、他の回答者様が仰っている通り私が教師失格なのかもしれませんが。。。

補足

ａを定数として、
正比例の時は、ｙ＝ａｘ、反比例の時は、ｙ＝ａ／ｘと表せられるということは理解できています。