立体の体積を求める問題です

質問

大学受験問題なのですが、分かる方いらっしゃったら教えて下さい。

曲線　Ｃ：ｘ=ΘcosΘ、ｙ=ΘsinΘ
Ｃ上に点Ｐをとり、線分ＯＰを直径の両端とする半円ＤΘをxy平面に垂直に作る。ＰがＣ上を動くとき、半円の通過する立体の体積を求めよ。ただし、０≦Θ≦π/2とする。

判らなくて困っています。宜しくお願いします。

回答No.4

noname#108210

私の計算では，(π/4)^5 となってしまうのですが・・・
大きなミスをしてたらごめんなさい．

OP上の点(x,y)に対して
x=r*cosθ,y=r*sinθ とすると
V=∫[0,π/2]dθ∫[0,θ]{√(rθ-r^2)}rdr
=∫[0,π/2]dθ∫[0,θ]{r√((θ/2)^2-(r-(θ/2))^2}dr
r-(θ/2)=t とおくと，r=t+(θ/2), dr=dt だから
V=∫[0,π/2]dθ∫[-θ/2,θ/2](t+θ/2){√((θ/2)^2-(t^2))}dt
また，t=(θ/2)sinφ とおき，dt=(θ/2)cosφより
V=∫[0,π/2]dθ∫[-π/2,π/2]((θ/2)sinφ+(θ/2))*(θ/2)cosφ*(θ/2)cosφdφ
=∫[0,π/2]dθ(θ/2)^3∫[-π/2,π/2](1+sinφ)(cosφ)^2dφ
=(1/8)∫[0,π/2](θ^3)dθ{∫[-π/2,π/2](cosφ)^2dφ+∫[-π/2,π/2](sinφ)(cosφ)^2dφ｝
第２項は0だから
V=(1/8)[(θ^4)/4][π/2,0]*2∫[0,π/2](cosφ)^2dφ
=(1/8)*(1/4){(π/2)^4}(π/2)
=(π/4)^5

自信がないですが，どこか大きな勘違いしてますでしょうか？

回答No.3

info22

#1,#2です。
A#2の訂正と補足です。
絶対値の付け方が間違っていたようですので下記のように訂正します。

>　x=θcosθcosφ,z=(s/2)*sin(2*t)
　 x=θcosθcosφ,z=(θ/2)sin(2φ)

A#1,A#2共、θは質問のΘと同じ角度[rad]、φは地球の緯度に当たる角度[rad]です。

>　|J1|=|∂(x,z)/∂(θ,φ)|
|J1|=∂(x,z)/∂(θ,φ)
>=|(θsinθ-2*θ^2*sinθ)*cos(φ)^3+θ^2*sinθ*cosφ|
=(θsinθ-2*θ^2*sinθ)*cos(φ)^3+θ^2*sinθ*cosφ
>V=∫[0,π/2] {∫[0,π/2] (θ/2)sinθ{1+cos(2φ)}|J1|dθ}dφ
V=|∫[0,π/2] {∫[0,π/2] (θ/2)sinθ{1+cos(2φ)}|J1|dθ}dφ|…(■)
>　=(π^4)/320+(π^2)/240-(1/60)
>　=　0.328860 …

積分のθとφの上限、下限の与え方により体積積分が正になったり負になったりします。負になった場合は体積積分の絶対値をとる必要があります。今の（■）の積分では負になりますので絶対値をとります。

回答No.2

info22

#1です。
A#1の積分の仕方をdxdzで積分するやり方をしても同じ積分値になりますのでA#1の積分結果で合っていると思います。
以下dxdz面上でyを積分する方法です。

V=∫∫∫[V] 1 dxdydz
　=∫∫[S] y(x,z)dxdz
　=∫∫[S'] y(φ,θ)|J1|dφdθ

y(φ,θ)=(1/2)θsin(2φ),
　x=θcosθcosφ,z=(s/2)*sin(2*t)
y=(1/2)θsinθ{1+cos(2φ)}
　|J1|=|∂(x,z)/∂(θ,φ)|
=|(θsinθ-2*θ^2*sinθ)*cos(φ)^3+θ^2*sinθ*cosφ|
V=∫[0,π/2] {∫[0,π/2] (θ/2)sinθ{1+cos(2φ)}|J1|dθ}dφ
　=(π^4)/320+(π^2)/240-(1/60)
　=　0.328860 …

回答No.1

info22

V=∫∫∫[V] 1 dxdydz
　=∫∫[S] z(x,y)dxdy
　=∫∫[S']z(φ,θ)|J|dφdθ

z(φ,θ)=(1/2)θsin(2φ),
　x=θcosθcosφ,y=(1/2)θsinθ{1+cos(2φ)}
　|J|=∂(x,y)/∂(θ,φ)
={-θcosθsinθ-(θ^2)*(cosθ)^2+2θ^2}((cosφ)^2)sinφ

V=∫[0,π/2] {∫[0,π/2] (θ/2)sin(2φ)|J|dθ}dφ
　=(π^4)/320+(π^2)/240-(1/60)
　=　0.328860 …

となりました。
合っているはは保証の限りではありませんので、自分で計算して確かめてください。

なお、立体の図を添付します。