体積と表面積の関係について

質問

体積と表面積の関係で質問があります．

たとえば，球は体積 4πr^3/3 を r について微分したものが表面積になりますが，
一般的な立体についてはどうなのでしょうか？

一般的な立体について，体積と表面積には何らかの関係があるのでしょうか？

ぜひ教えてください！

回答No.6

tgb · ベストアンサー

ANo.3の補足に対してお答えします。

S = (3a/b)・(dV/dp)
の意味するのは
表面積は，必ず体積をパラメータで微分した値の整数倍になる
ということではなく、
体積をパラメータで微分した値の3a/b倍になるということであって
たまたまその倍率の中に3が因子として含まれているだけと言うことに
なります。どの立体に対する倍率も3次元で3を因子として持ち、
これに形状に関する因子a/bが加わったもので自然とも言えるのでは
ないでしょうか。

　また、SとdV/dpの関係は正しくは
S = (b/(3a・r))・(dV/dp)
で、rが任意に設定できることからANo.3ではb/(3a・r)が1になるように
rを設定してS = dV/dpを導いています。
　ｒを設定すると言うことは、pとして例えば立方体であれば
１辺の長さを採るか対角線の長さを採るかに対応しています。
またはpの長さの単位としてmやcmを採ることに対応します。

回答No.5

tgb

申し訳ありません、
ANo.3で間違いがあります。

「どんな値の表面積にでもなるようにできます」
は誤りで、
最小限度以上と言う制限が付きます。
また、逆の場合つまり表面積の値を指定した場合も
最大限度以下と言う制限が付きます。

回答No.4

Ishiwara

純金は非常に展性が高く、ごく少量で膨大な大きさの箔を作ることができるそうです。１グラムの金を箔にした場合と、球体にした場合を考えて見ましょう。

補足

解答ありがとうございます．

しかし，質問文を読んでいただければわかるかと存じますが，
別に体積だけの情報を与えて，それから表面積を求めさせようとしているわけではありません．

ある立体の形状をを先に既定し，それに対する体積と表面積の関係を質問したわけです．
当然その立体の形状が球であれば，微分・積分の関係ですが，
それが任意だった場合を問うているわけです．

回答No.3

tgb

※QNo.4127875にて類似した問題に解答していますのでこちらも参考になると思います。
こちらでは体積を微分すると表面積になる立体の条件がどのようなものか質問しています。

　一般的な形状に対しては体積と表面積には何の関係もないと言えるでしょう。
例えば、体積をある値に指定したとき、適当な立体を考えればどんな値の表面積にでもなるようにできます。つまり、体積を決めたからと言って表面積が決まる訳ではないのです。逆も言えます。
　ただし、形状を決めるパラメータが１つのみの場合を想定すると体積と表面積には関係が生じます。球や立方体の場合がこのような例です。

　形状を決めるパラメータを１つのみとするのは球や立方体などと言った特別な形状に限定される訳ではなく、形状としては任意のものを想定できます。つまり、任意の形状のものに対してパラメータが１つのみになるような変形を考えるのです。このような変形として相似変形があります。サイズの異なる球や立方体は相似変形の関係にあります。

　このような変形に限定した上でなら体積と表面積の関係が得られます。
任意の形状に対して体積V、表面積Sは
V=a(r・p)^3
S=b(r・p)^2
ただし、
a、bは形状によって決まる定数
pは対象となる立体のサイズを決めるパラメータ
rはa、bに対応して任意に設定できる定数(パラメータに対する比率)
と書けます。
例えば立方体では
pとして１辺の長さを採ればa=1/r^3、b=6/r^2、r：任意
pとして中心を通る対角線の長さを採ればa=1/(3^(3/2)r^3)、b=2/r^2、r：任意
とできます。

　先のS、Vの式から(r・p)を消去すれば
V=a・(S/b)^(3/2)
が得られます。
　また、rを適当に設定すればVをpで微分してSが得られるようにする事もできます。
ｄV/dp=3ar^3・p^2
これがS=b(r・p)^2に等くなるために
3ar^3・p^2=b(r・p)^2
これから
r=b/(3a)

補足

解答ありがとうございます．大変参考になりました．
一つ疑問に思ったので質問させてください．

この説明ならば，

dV/dp = dV/dp=3ar^3・p^2

となるわけですから，

S = (3a/b)・(dV/dp)

という関係が成り立つはずです．
即ち，任意の立体において，
表面積は，必ず体積をパラメータで微分した値の整数倍になるということです．

これって本当でしょうか？ 証明することはできますか？

ぜひ，教えてください！

回答No.2

Tacosan

「一般的な立体」については成り立ちません.
3軸不等な楕円体を想定すれば明らか.

回答No.1

nezusuke

「正多面体において、体積を立体の中心（中心は、各面から等しい距離である点とする）から各面への距離で微分すると、立体の表面積になります。直方体においては、3組の向かい合う面それぞれに対し、2つの面への距離が等しくなる点をＰとし（要はするにＰは直方体の中心です）、Ｐから面への距離をa,b,cとしてa,b,cで体積を全微分すれば表面積が出ます。」
ということだそうです。

補足

正多面体や直方体についてはそうですが，もっと一般的な立体については言えないでしょうか？