f(x,y)＝e^2ylog(1+x)とする。

質問

f(x,y)＝e^2ylog(1+x)とする。
　　(1) ｆ(x,y)のマクローリン展開を求めよ
(2)
∂^(m+n) f/(∂^m x)(∂^n y) の (x,y)=(0,0) における値を求めよ
　　ちょっとわからないんです。教えていただけないでしょうか

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

もう少し補足しておきます。

(1)
f1(y)=e(2y)のマクローリン展開とf2(x)=log(1+x)のマクローリン展開を別々に求めてから
f(x,y)のマクローリン展開をマクローリン展開の積f1(y)f2(x)として求めれば、偏微分もする必要もなく簡単にf(x,y)のマクローリン展開が求めることが出来ます。

f1(y)=1+2*y+2*y^2+(4*y^3)/3+(2*y^4)/3+...
f2(x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...
f(x,y)=f1(y)f2(x)= …　（単なる多項式の積の計算し、昇べきの順に並べるだけ）

(2)
f(x,y)がf1(y)とf2(x)に変数分離できるので
f1(y)のyのn次の項の係数f1^(n)(0)/n!
とf2(x)のxのm次の項の係数f2^(m)(0)/m!
の積と
2変数マクローリン展開の(m+n)次のx^m*y^nの項の係数
{((m+n)Cm)/(m+n)!}∂^(m+n) f/(∂^m x)(∂^n y)(0,0)
とが等しい事から求めると良いでしょう。

回答No.1

info22_

単に根気良く計算するだけです。
次のURLに展開の定義式（公式）がありますので、その公式に偏微分の係数を求めて代入するだけです。
なお(x,y)=(0,0)におけるf(x,y)のテーラー展開のことをf(x,y)のマクローリン展開と言います(同じものです)。

参考URL
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/100ksk.html
http://www.ge.ce.nihon-u.ac.jp/~kiyono/prints/7exp.pdf

やってみて分からなければ、行き詰っている所までの計算過程を補足に書いてもらえれば間違い等をチェックします。