y = e^x と y = (e - 1)x + 1との交点の求め方について。

質問

y = e^x と y = (e - 1)x + 1を
e^x = (e - 1)x + 1
両辺対数をとって
x = log{(e - 1)x + 1}

としてみたのですが、ここから
x = 0, 1
にたどり着きません。
よろしければ、解法を教えて下さい。

回答No.1

zabuzaburo · ベストアンサー

ご期待に添えず残念ですが……。

こういう方程式は非常にラッキーな場合を除いて
「解けない」のが普通です。
たとえば、「x^2 = 2^x + 1」という方程式があるとします。
グラフを描いてみれば解が2つあることは間違い無いのですが、
一定の手順を踏んで解に到達することはできませんね。
実は「x = 3」が解の一つなのですが、
言われてみればそうだと確認することはできるものの、
もう一つの解は分からないままだし、右辺の「2^x + 1」が
「2^x + 2」に変わっただけでお手上げです。

教科書などに載っている方程式はほとんどが
「解ける方程式」ですから、ともすると私たちは
「解ける方程式など全体のごくごく一部である」ということを
見落としがちになります。

ご質問の方程式も、式変形でスマートに解にたどり着くことは
(たぶん)不可能です。
ただし、数学の記述としては(あるいは「答案」としては)、
「この方程式の両辺に x = 0 あるいは x = 1 を代入すれば成り立つ。
したがって少なくともこの2つは解である」
と、まるで空から答が降ってきたような顔をして
話を進めても問題ありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
無理ですか・・・。
でも入試のときにこんな問題がでたら、
簡単な数字を代入して続けてもいいんですね。
ちょっと悩みが解決しました。ありがとうございました。

回答No.2

roro02

この連立方程式を解け、という問題ではないのですよね。

微積分の問題か何かでこの２つの式が出てきて、その交点を求めたいのだと思います。

まずグラフを描きましょう。するとx=0が解であることはすぐに分かります。また、x=0で接している感じではなさそうなのでx>0の範囲でもう一度交わるということも分かります。グラフの交点の位置から試行錯誤のすえx=1が出てきます。

さて、ここからが重要なのですが「交点は２つであること」は証明する必要はありません。答案の中にグラフを描くのなら何の断りもなしに交点のx座標を書いてしまって問題ありません。

要は、交点を求めるのが目的ではなく、例えば囲まれた図形の面積を求めるとか回転体を求めるとかそういうことに応用していきたいわけなので、何知らぬ顔で「どういう方法でか分からないが求まった」交点を使って答案を作っても構いません。

お礼

ご回答ありがとうございます。おっしゃる通り、回転体を求める問題です。
とりあえず、この問題は解決できました。ありがとうございます。