外積

質問

外積

外積の性質における交代性について示したいのですが、どのようにすれば示せるのでしょうか？
・a×b=-b×a
・b×a=-(a×b)

導出方法が分かりません・・・
ご回答よろしくお願い致します。

回答No.6

info22_ · ベストアンサー

#2,#3です。

>外積の交代性の証明は理解出来ました。
>それぞれの成分のxyzを列方向に書くと、
>|e1,a1,b1|
>|e2,a2,b2|
>|e3,a3,b3|
>となりますが、行列式の転置の性質から同じ結果と考えて良いでしょうか？
同じ行列式の値（結果）になります。しかし、通常e1,e2,e3を行方向に並べるA#2の
書き方が一般的です。

>行列式は行列について様々な情報を持つ一つの数，スカラ量であるとの説明があり
行列式はスカラー量だと認識しておりました。

>この認識は間違いなのでしょうか？
定義次第です。

当然のこちですが
行列式の全ての要素スカラー量として「行列式を定義」すれば行列式の計算結果はスカラー量のあると言えるでしょう。あなたの認識はこの定義の範囲では正しいでしょう。

しかし、この定義以外の定義（要素にベクトルを使える定義）を使えば、行列式の値はベクトルにもなります。（今回のケース）この場合はあなたの認識が正しくないでしょう。

要素にベクトルが含まれれば、新たにその演算法を定義すれば行列式の拡張ができます。

補足

いつもご回答ありがとうございます。

＞この定義以外の定義（要素にベクトルを使える定義）を使えば、
＞行列式の値はベクトルにもなります。
＞（今回のケース）この場合はあなたの認識が正しくないでしょう。
理解しました。仰るとおり、e1はベクトルなので行列式はスカラー量
とはなりません。ありがとうございます。

行列式の表記方法ですがベクトルは列ベクトルで表記する方が一般的と認識しております。
例えば、基底ベクトルなどで一次独立か一次従属かを判断する場合、行列式を
用いますがこの場合は、列にxy成分を書くと思います。

今回は単位ベクトルeを使いますが、行列式にベクトルを書く場合は横方向に表記するという
ことなのでしょうか？

このあたりの認識がどこか間違っているのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

alice_44

因みに、外積は、
成分計算で定義して、交代性などの基本的な性質を導くよりも、
交代性も含むいくつかの公理で定義して、成分計算を導いたほうが、
スッキリした議論になりますよ。

回答No.4

alice_44

＞ 外積は行列式表現出来るのでしょうか？

行列式で表現できるのではなく、まるで行列式みたいな式で表現できるのです。
No.2 の式は、e1, e2, e3 がベクトルで、a1, a2, a3, b1, b2, b3 がスカラー
ですから、行列式といっても、行列環の基礎環がどうなってんだか解りませんね。
その点には目をつぶって、形式的に多項式として展開すると、あら不思議。
その「行列式」が、外積の定義になっているのです。

線型代数では、行列の特性多項式に行列自身を代入したりとか、そういった
定義の曖昧な式操作がよく行われます。それらの操作を、一個一個正当化する
議論をすることは可能ですが、そういうことに拘るより、歴史年表のゴロ合わせ
みたいな愉快な暗記述とでも考えれば、それなりに便利なのです。

補足

いつもご回答ありがとうございます。

外積の証明及び行列式をベクトルと表現出来ることについて理解できました。
ありがとうございました。

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の補足質問の回答
>外積は行列式表現出来るのでしょうか？
>行列式だとスカラー量になりますが
勉強不足ですね。行列式がスカラー量と何処の学校で習ったのでしょうか？

A#2の行列式を展開してみて下さい。行列式の展開式がちゃんとベクトル量になって
居ることを確認して見て下さい。

aXb=
|e1,e2,e3|
|a1,a2,a3|
|b1,b2,b3|
=(a2b3-a3b2)e1+(a3b1-a1b3)e2+(a1b2-b1a2)e3
=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-b1a2)
　↑立派なベクトル量ですよ。

あなたの行列式はスカラー量という先入観はこの際捨てるべきです。
(e1,e2,e3)はx,y,z軸方向の単位ベクトルですよ。

補足

お礼が遅くなり申し訳ございません。
ご回答ありがとうございます。

外積の交代性の証明は理解出来ました。
それぞれの成分のxyzを列方向に書くと、
|e1,a1,b1|
|e2,a2,b2|
|e3,a3,b3|
となりますが、行列式の転置の性質から同じ結果と考えて良いでしょうか？

行列式は行列について様々な情報を持つ一つの数，スカラ量であるとの説明があり
行列式はスカラー量だと認識しておりました。

この認識は間違いなのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

info22_

3次元なら
x,y,z方向の単位ベクトルを順にe1,e2,e3とし、
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)とすれば、
ベクトル積の行列式表現を使えば良いですね。

aXb=
|e1,e2,e3|
|a1,a2,a3|
|b1,b2,b3|
2行目と3行目を入れ替える
=-1*
|e1,e2,e3|
|b1,b2,b3|
|a1,a2,a3|
=-(bXa)

bXa=
|e1,e2,e3|
|b1,b2,b3|
|a1,a2,a3|
2行目と3行目を入れ替える
=-1*
|e1,e2,e3|
|a1,a2,a3|
|b1,b2,b3|
=-(aXb)

補足

ご回答ありがとうございます。
外積は行列式表現出来るのでしょうか？
行列式だとスカラー量になりますが、その点がよくわからないです・・・

回答No.1

spring135

３次元空間で証明したいなら
a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)
と置いてベクトルa×b、b×aを実際に計算すればよい。
一般のn次元空間ではやったことがないので成立するか否かも含めて不明。