外積の証明だけど

質問

外積の解き方は学校で教えてもらえた（たすきがけの方法）のですが、実際どうして外積がいえるのかっというのは教えてもらえませんでした。

やはり、解くだけならいいのですが納得して使いたいので、どなたか教えていただけませんか？

回答No.6

motsuan · ベストアンサー

「どんな２つのベクトルａ、ｂにも必ず垂直になるベクトルの求め方」を、求めてみます。
２つのベクトルの関係なのでベクトルｐ、ｑに対して
（ｐ×ｑ）
という謎の量を考えます。
まずベクトルなので成分に分けます。
ａ＝Σα_i e_i
ｂ＝Σβ_i e_i
（e_iが基底でα_i、β_i がその係数。）
どんなベクトルでも成り立つような求め方でなくてはいけないので、
（ａ×ｂ）＝ΣΣα_iβ_j（e_i×e_j）・・・（★）
とできていてくれれば、どんな組み合わせのときも簡単に計算できます。
せっかくなので、こういう（ｐ×ｑ）があると仮定します。

基底e_i,e_jが垂直なときは３次元の場合は垂直な向きは１つしかありません。
　（e_x ×e_y）＝ ±e_z　・・・（１）
などなど。基底e_i,e_jが同じ向きの場合つまり（e_i × e_i）は
不定になってしまいますが
　（e_i ×（e_i＋e_j））＝ （e_i × e_i）＋（e_i × e_j）
というような場合、e_zの向きに向いていて欲しいので、
　（e_i × e_i）＝０　・・・（２）
が望ましいです。そこでそういうものだとします。
さらに
　０＝（(e_i+e_ｊ) × (e_i+e_ｊ) ）
は（e_i × e_i）＝０という条件をつかうと、
　０＝（e_ｊ× e_i）＋（e_i× e_j）
が残ってしまいます。そこで、
　（e_ｊ× e_i）＝－（e_i× e_j）　・・・（３）
としましょう。
（１）で±のぶん自由度があるように見えますが、
e_yをe_zまで連続的に回転させたとき、右辺も連続的に回転します。
このときに符号が食い違っていたらだめです。・・・（４）
こういう条件を満たすようにするための組み合わせは
（i,j,k)=(x,y,z),(y,z,x),(z,x,y)で
　（e_i ×e_j）＝ e_k　
か
　（e_i ×e_j）＝ －e_k　
しかないことがわかります（って本当か？）。

これで、性質が出揃いました。
改めて、（★）を計算すると（３）から
　（e_y ×e_x）＝－（e_x ×e_y）＝－±e_z
などであることに注意すると、ご存知のたすき掛けが導出されます。
つまり、各基底の間の関係を都合の良いように決めて、
かつ、線型性を仮定すると導かれる性質だということです。

回答No.7

Rossana

高校生の方と考え、一番分かりやすいように身近な面積から出発します。
簡単なので以下の手順で求めて下さい。
１．平行四辺形ＯＡＣＢを描きます。
２．注；ベクトルの矢印は省略します！！
　　ＯＡ＝a＝(ax,ay,az),ＯＢ＝b＝(bx,by,bz)
とします。
３．平行四辺形の面積Ｓは
　　Ｓ＝√[|a|^2|b|^2－(a・b)^2]で計算します。
４．展開してまとめます。
　　|a|^2|b|^2－(a・b)^2
　　＝(aybz－azby)^2＋(azbx－axbz)^2
＋(axby－aybx)^2
５．Ｓ＝√[(aybz－azby)^2＋(azbx－axbz)^2
＋(axby－aybx)^2]
　　　＝|(aybz－azby,azbx－axbz,axby－aybx)|
６．ここで、この成分を持つベクトルを外積として
　　　　　　　　　　　　a×b
　　と定義します。
７．するとＳ＝|a×b|となります。
　ここまでで、外積の大きさが平行四辺形の面積に等しい事は分かったと思います。
　次に、a×bがどんなベクトルなのか調べます。
８．a・(a×b)＝ax(aybz－azby)＋ay(azbx－axbz)
　　　　　　＋az(axby－aybx)
＝0
９．同様に計算するとb・(a×b)＝0である事が分かりま　　　す。
１０．a≠0,b≠0 また aとbは平行でないからa×b≠0
　　　よって, a⊥a×b かつ b⊥a×b
　つまり、これでa×bはa,bに垂直なベクトルである事が理解頂けたと思います。
　最後に、a×bの向きがa→bへ回して右ねじの進む方向である事を簡単に、調べます。x軸→y軸に回した時右ねじの進む向きをz軸とします。例えば
　a＝(1,0,0),b＝(0,1,0)としますと
a×b＝(aybz－azby,azbx－axbz,axby－aybx)
＝(0・0－0・1,0・0－1・0,1・1－0・0)
＝(0,0,1)
となってz軸の向きを向いている事が判明しましたね。

回答No.5

ryumu

一度は自分で計算した方がいいでしょう。

基本的にはNo 3のwatapenさんの方法で証明します。
ただし、外積で得られるベクトルは大きさ自体は意味がなく向きだけが必要なので、

c=(α,β,γ)　＝＞　(α/γ,β/γ,1)＝（Ｋ、Ｌ、１）・・・（＄）

としておきましょう。

すると、watapenさんの定義したベクトルa、bとの内積を取ると、

　a・c =＞　 Ｋｘ1 + Ｌｙ1 + ｚ1 =０　・・・（＊）
　b・c =＞　 Ｋｘ2 + Ｌｙ2 + ｚ2 =０　・・・（＃）

（＊）× ｙ2 - （＃）× ｙ1　からＫが、
（＊）× ｘ2 - （＃）× ｘ1　からＬが求められます。

ＫとＬの分母は共通になっているはずです（ｘ1ｙ2 - ｙ1ｘ2）。

これらを（$）に代入し、分数は見づらいのでベクトル全体に（ｘ1ｙ2 - ｙ1ｘ2）をかけると、ベクトルaとbに垂直なベクトルｃが得られます。

このとき注意してみると、ベクトルｃの各成分には規則性があることがわかります。
例えばベクトルｃのｚ成分には、ベクトルa、bのｚ成分が含まれず、各ベクトルのｘ成分とｙ成分がそれぞれ掛けられて（ｘ1ｙ2とｙ1ｘ2）、それらの差が取られています（ｘ1ｙ2 - ｙ1ｘ2）。

実際はどうか知りませんが、この成分の規則性を考慮して、たすきがけが考案されたのではないでしょうか。

回答No.4

jmh

図形で考えたら…、外積ａ×ｂとは、
1. 長さが、ａとｂが張る平行四辺形の面積と等しく、
2. 向きが、ａからｂへの回転（＜１８０°）で右ねじが進む向き
　（ａとｂの両方に垂直）
のベクトルです。

行列式、ご存知ですか？
その各「たすきがけ」は、行列式になってます。
外積の長さは…平行四辺形の面積で、
行列式を図形で考えると…、
ヒントでした。
…自信なしです。

回答No.3

watapen

なんかすっきりしない定義ですね？
ってその定義はだめでしょう？

普通は
a ×　b　＝ |a||b|sinθ
などと高校ではやるんではないんですかね？
図形的意味はa,bのベクトルできる平行四辺形の面積なんですが。

証明っていう意味では
たすきがけで得られるベクトルと
aとbそれぞれ内積とったら0ですよってやればいいのでは？
またなんで？っていうときは
その証明の逆をやっていくとよいのでは？

ベクトルの長さを気にしないのであれば
a=(x1,y1,z1)
b=(x2,y2,z2)

c=(α,β,γ)とおいて
a,bとｃのナイセキをとります。
同時に満たすcの解が外積でもとまるベクトルと平行になるのですが...

回答No.2

watapen

外積の定義としてどのようなものをつかってますか？

今は高校でも外積ってならうものなのですか？
私の時代はまだまだ受験テクニックでしたが...

補足

ほとんど、定義など習っていません。
aとbのベクトルがあり、両方に垂直なcを求めなさいというときに、たすきがけを使い、求めなさいと言われました。
この「aとbのベクトルがあり、両方に垂直なc」をa×b=cと表し、外積と言います。と習いました。

だから、垂直とかっていうキーワードが出てきたら、外積を使うという感覚です。もちろん、図もみました。
空間ベクトルでいうとx,y,zのx×y＝z　と言うことですよね。

回答No.1

watapen

質問の趣旨がよくわかりません。

外積の意味をしりたいのか？
なぜたすきがけで外積を求められるのか？

補足

すみませんでした、後者の方です。
たすきがけでなぜ外積が求めれるのでしょうか？
よろしくお願いします！