数学Ｂの問題（外積を使わずに）
以下の問題について、教えてください。
P=(12,4,3)に垂直な空間ベクトルA,B
があり、△OABの面積をSとするとき、
△OABをxy平面に射影した△OA'B'の面積S'を
Sを用いて表しなさい。
なお、ベクトルPがx,y,z軸の正の方向と成す角の大きさを
α,β,γとします。
この問題の答えは、 S'=S*cosγ だと思いますが、
これを外積を利用せずに解くことはできますか？
12a1+4a2+3a3=0
12b1+4b2+3b3=0
などを利用する？？
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以下、計算のために、位置ベクトルとしての成分を整理しておきます。
P=(12,4,3)
N=P/|P|=(cosα,cosβ,cosγ) ： 平面OABの法線単位ベクトル
A=(a1,a2,a3)
B=(b1,b2,b3)
A'=(a1,a2,0)
B'=(b1,b2,0)
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外積を使えば、
A×B = (a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)
= |A×B|*N
= |A×B|*(cosα,cosβ,cosγ)
より、a1b2-a2b1=|A×B|*cosγ
よって、
S'=1/2*|A'×B'|
=1/2*|(0,0,a1b2-a2b1)|
=1/2*|(0,0,|A×B|*cosγ)|
=1/2*|A×B|*cosγ
=S*cosγ
と計算できます。（cosγ=3/13です）
しかし、以上のように外積の性質を利用した解法は、
わざわざベクトルPが成分表示されている意味がありません。
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お礼
早くにお返事ありがとうございます。二乗して足せばいいのですね。この方法で答えまで求めることができました。本当にありがとうございました。