行列式について

質問

｜ＡＢ｜
｜ＣＤ｜（行列式）
があって小行列Ａが正則、小行列Ｂが０、小行列Ｃが０
そして小行列Ｄは単位行列とすると
｜ＡＢ｜
｜ＣＤ｜　この行列式は０でないのはなぜでしょうか？
＊行列式の縦棒がわかりにくいですがつながってると思ってください

｜ＡＢ｜
｜ＣＤ｜　＝｜Ａ｜X｜Ｄ｜＝｜Ａ｜となり
Ａが正則だから０でないらしいですが

｜ＡＢ｜
｜ＣＤ｜　＝｜Ａ｜X｜Ｄ｜となることがわかりません
わかる人いたらどうかお願いします。

回答No.4

kup3kup3 · ベストアンサー

#2です。Ｄがm次の単位行列とします。
ANo.2の回答で第(n+1)列で余因子展開し、これを続けるのと殆ど同じですが、
次のように元の行列式の一番右はしの列でまず展開し、
また右端の列で展開して行くことを繰り返すとした方が分かり易かったですね。
まず元の行列式を最右列で余因子展開すると
1×(－1)^{(m+n)+(m+n)}=(-1)^{2(m+n)}=1なので（なぜなら2(m+n)は偶数だから）
｜ＡＯ｜
｜ＯＤ'|　の形になり
Ｄ'は(m-1)次の単位行列　,(Ｂの零行列は列数が1減り、Ｃの零行列は」行数が1減るが）
これを繰り返せば、
｜ＡＯ｜
｜0　1|　となる。ここに右上のＯの零行列は　(0.0.・・・・,0)を転置した行列です。
最後に最右列の第(n+1)列で展開して
1×(-1)^{(n+1)+(n+1)}=(-1)^{2(n+1)}=1 （なぜなら2(n+1)は偶数だから）となるので、
結局元の「質問者の行列式」は
1×(-1)^2(n+1)×｜Ａ｜=|Ａ|となります。
補足に書いてたのを早くみればよかったのですが、
少し分かりにくいやりかたでしたね。申し訳なかったです。

お礼

返信ありがとうございます。何とかできたと思いますｂ

回答No.3

Tacosan

#1 の 2 は気が効いてるんだけど難しいかもしれない. 「固有値の積が行列式と等しい」ということを使うだけだから, 気付けばほぼ一瞬なんだけど....
で 1 の方ですが, 普通は 1行目とか 1列目で展開しないかなぁ＞#2. A が 1次とか 2次とかのときに展開すれば, 方針は立つはず... だけど... 展開が大丈夫かなぁ. かなり心配だ.

お礼

返信ありがとうございます。もっと勉強して理解できるようがんばります

回答No.2

kup3kup3

こんばんは。行列式の余因子展開て勉強しました？
習っていれば分かると思いますが・・・
Aをn次正方行列とします。質問者の行列式を第(n+1)列で
展開してみれば・・・・

お礼

j＝１の時
｜ＡＢ｜
｜ＣＤ｜　＝Ａ（Ａ～）＋Ｃ（Ｃ～）
でしょうか？・・・すみません力不足でわからないです・・・

補足

すみませんこうでしょうか？
｜ＡＢ｜
｜ＣＤ｜を第(n+1)列で展開すると

｜ＡＢ｜
｜ＣＤ｜＝０＋０＋・・・＋（－１）~（n+1+n+1）
Ｘ（掛け算）
｜ＡＯ ｜
｜Ｏ(Ｄ~(m-1))｜＋０＋・・・＋０

＝
｜ＡＯ ｜
｜Ｏ(Ｄ~(m-1))｜
＝
｜ＡＯ ｜
｜Ｏ(Ｄ~(m-2))｜
＝・・・＝
｜ＡＯ｜
｜ＯＯ｜＝｜Ａ｜
こういうことでしょうか？

回答No.1

Tacosan

1. A の次数に関する帰納法で示す
2. A や D の固有値がその行列の固有値であることを示す
くらいは思いつく.

お礼

すみません、力不足でわからないです・・・