関数の問題について

質問

関数の問題について

f(0)=0
f(1)=1
f(x)が-1から1で微分可能で、f(x)を微分したものが定数ではないとき、

f(x)を微分したものをf'(x)とする

f'(0)=0を示したいのですが、どうしてもうまくいきません。

平均値の定理から、f(k)=1 (0<k<1)が存在するのはわかります。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

ん? これだけの条件からは f'(0) = 0 とならないはずですが....
むしろ逆に, どうして f'(0) = 0 と思ったのでしょうか?

回答No.6

Tacosan

問題のどこから「f'(0)≠0と仮定する。f(0)=0より、f(0)>0である。」と言えるのでしょうか?

回答No.5

Tacosan

「f(x) が x=0 で微分可能」の定義に戻れば簡単なんだけどなぁ....
「f'(0)≠0と仮定する。f(0)=0より、f(0)>0である。」がどうして出てきたのか, さっぱりわかりません. 説明してください.

補足

問題に与えられています

回答No.4

Tacosan

0≦f(x) まで入れれば「f'(0) = a ≠ 0 を仮定して背理法」が簡単かな.

補足

f(0)=0
f(1)=1
|g(x)|≦f(x)つまり、0≦f(x)ですね

f'(0)=0を示せ

f'(0)≠0と仮定する。

f(0)=0より、f(0)>0である。

これでどうやったら矛盾がでるのでしょうか？

回答No.3

mo-taro

示せないのではないでしょうか。

反例として
f(x)=-2x^2+3x
があげられると思います。

「f(0)=0,f(1)=1,f(x)が-1から-1まで微分可能、f'(x)=-4x+3・・定数ではない」

の条件を満たしていますが

「f'(0)=3」

となります。

補足

すいません、条件が足りませんでした。
|g(x)|≦f(x)もありました。

与えられた条件は、

f(0)=0
f(1)=1
f(x)が-1から1で微分可能で、f(x)を微分したものが定数ではない
|g(x)|≦f(x)つまり、0≦f(x)ですね

f(x)を微分したものをf'(x)とする

f'(0)=0を示せ

です。

回答No.2

noname#185706

示すことはできません。

例えば
f(x) = (x^2 + x) / 2
という反例があります。