定値関数であること

質問

「集合A={(x, y)∈R^2 :x<0またはx≧0, y≠0}。関数f:A→RがD1f=D2f=0ならfが定値関数であること」
このことを示したいのですが、平均値の定理を使うということはなんとなくわかります。
x≧0のとき、平均値の定理から(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)=0でf(a)=f(b)で定値関数ということは示せると思うのですが、x<0のときはどうすればよろしいでしょうか？

回答No.2

handarin · ベストアンサー

平均値の定理は１変数でないと使えません。
fは多変数（ベクトル変数）
(f(b)-f(a))/(b-a)←b-aで割るって意味が分かりませんよね？bもaもベクトルですよ

慣例どおりD1f=∂f/∂x,D2f=∂f/∂yと書く。
Aの任意の点Xは、E=(-1,0)と線分で結べる。
P(t)=(x(t),y(t))を線分EX上をt:1-t(0≦t≦1)に内分する点とし,
fをtの関数と思う。つまりf(t)=f(x(t),y(t))と思う。
多変数の合成関数の微分公式：
df/dt=(∂f/∂x)(dx/dt)+(∂f/∂y)(dy/dt)
よりfをtで微分すると
df/dt=0+0=0
つまりfはtによらず定数。つまりf(X)=f(P(1))=f(P(0))=f(E)

お礼

ありがとうございました！とても困っていたので、助かりました。
本当にありがとうございます！

回答No.1

handarin

おかしいな・・・昨日も同じ問題を答えたような・・・
少なくとも平均値の定理を使うとは思えない。
出来たと言うなら見せて欲しい。

補足

お手数をおかけして申し訳ありません。
平均値の定理を用いて、a,bを任意でとれば、x≧0において、すべて、D1f=D2f=0と言えると思ったのですが…。
是非、アドバイスをお願いします。