z=(-1-√3i)/2 とするとき、

質問

z=(-1-√3i)/2 とするとき、
1 +z +z^2 +z^3 +z^4 +z^5 +z^6 +z^7 +z^8 +z^9 +z^10 の値の求め方。

上記の問題の値の求める方法が知りたいので、解説をお願いしたいです。

ときどき、計算式だけを書いて質問に答えてくれる方もいますが、できれば解説もお願いしたいです。
質問者としては、解よりも求め方、考え方を教えていだけるとありがたいです。
お手数ですが、よろしくお願いします。

回答No.3

proto · ベストアンサー

ちょっと手を動かして、
　　1+z+z^2
と
　　z^3
の値を実際に計算してみてください。
すごく簡単な結果になると思います。

そうしたら
　　1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9+z^10
は
　　1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6+z^7+z^8+z^9+z^10 = (1+z+z^2) +(1+z+z^2)*(z^3) +(1+z+z^2)*(z^3)^2 +z*(z^3)^3
と変形できますから、右辺に代入すれば簡単に値が求められます。

まずは、1+z+z^2とz^3を計算してみるところからです。

お礼

多数の回答ありがとうございました。

一番参考になった、この回答をベストアンサーに選ばせていただきたいと思います。

回答No.4

pilgrimage-west

単純な複素数の掛け算には、こんなやり方があります。

まず、縦軸i　横軸xのグラフを考えます。

次に原点とzを結びます。

次に、プラスの方のx軸とさっきの線が作る角度を求めます。
今考えているのは(-1-√3i)/2なので240°（-120°)ですね.。

もうひとつ必要なのが、原点との距離です。（今回は１）
これを（大きさ）とすると

複素数の掛け算は

（角度＋角度）、（大きさ）×（大きさ）　で求められます。

つまり今回の場合では、

z^2=(1-√3i)/2 (240°+240°,1×1)=(480°,1)
z^3=0 (240°×3 ,1^3)=(720°,1)

こんな感じでぐるぐる回るのを感じていただければ良いのですが。
グラフに点を打っていくと規則性に気が付くと思うので、そこから答えを考えて
見てください。

高校生であればこれでだいたい対応できるはずです。
z=-1-√3i の時とかでも問題に出てきそうですね。別にやる必要はありませんが
この手の問題は規則性を見つけるのが重要です。

お礼

目から鱗の回答、ありがとうございます。

回答No.2

koko_u_u

>質問者としては、解よりも求め方、考え方を教えていだけるとありがたいです。

計算するには当然、z^2, z^3 などを求める必要があるわけです。
考え方よりもまず手を動かして、自分で計算してみることが重要です。はい補足にどうぞ。

お礼

頑張ってみたいと思います。

回答No.1

noname#185706

1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 + z^7 + z^8 + z^9 + z^10
= (z^11 -1) / (z -1)
から求めると楽でしょう。
z^11 を計算するには、
z を r(cosθ + isinθ) の形にしてド・モアブルの定理を使えばよいでしょう。

お礼

ド・モアブルの定理を使っても解けるのですか。
予想外の回答ありがとうございます。