1/√(x^2+A)の積分の求め方

質問

1/√(x^2+A)の積分の求め方

1/√(x^2+A)の積分の求め方についてですが、ふつうはt=x+√(x^2+A)と置きますよね

それで僕はt=-x+√(x^2+a)と置いて計算してみましたが、どうしてもt=x+√(x^2+A)と置いたときと答えが違います

何度も計算を見直してみましたが間違いはありません

なのに答えが違います

なぜでしょうか

誰かわかりませんか？

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

√(x^2+A) = t+x と置くと
A = 2tx + t^2
x = (A - t^2) / (2t)

でないといけない…のは御愛嬌として、
それ以降は合っていますよ。

- log | √(x^2+A) - x |
= log { | √(x^2+A) - x |^(-1) }
= log | 1 / { √(x^2+A) - x } |

1 / { √(x^2+A) - x }
= { √(x^2+A) + x } / { (√(x^2+A) - x)(√(x^2+A) + x) }
= { √(x^2+A) + x } / A

と変形できることと、
不定積分に積分定数をつけることを忘れなければ、
問題集の模範解答と一致しませんか？

それでも合わないなら、模範解答が間違っているのかも。

あと、不定積分で書きっぱなしだと見えにくい点ですが、
t = x + √(x^2+A) と置くべきか
t = -x + √(x^2+A) と置くべきかは、
A の符号と、積分後の x の変域とで変わってきますから、
注意して取り扱いましょう。

補足

回答ありがとうございます

>あと、不定積分で書きっぱなしだと見えにくい点ですが、
>t = x + √(x^2+A) と置くべきか
>t = -x + √(x^2+A) と置くべきかは、
>A の符号と、積分後の x の変域とで変わってきますから、
>注意して取り扱いましょう。

これってどういうことですか？

回答No.1

info22_

>何度も計算を見直してみましたが間違いはありません
あなたがやった計算を補足にお書き下さい。
そうででないとチェックできません。

>なのに答えが違います
>なぜでしょうか
計算を間違えているからでしょう。

補足

そうですね、すみません
一応僕がやった通りに書きます

√(x^2+A^2) = t+x と置くと
A=2tx+x^2
x=(A-t^2)/2t

dx/dt=-(t^2+A)/2t^2

与式=-∫(t^2+A)dt/[2t^2{t+(A-t^2)/2t}]
=-∫(t^2+A)dt/(2t^3+At-t^3)
=-∫(t^2+A)dt/{(t^2+A)t}
=-∫t^(-1)dt
=-logt
=-log|√(x^2+A) - x|

となります
僕が見直しても間違いは見つかりませんでした

どうなってるんでしょう？