expの問題がどうしてもわかりません。

質問

expの問題がどうしてもわかりません。
どなたか数学の得意な方教えてください。

nが自然数のとき、次の式が成り立つことを証明せよ。

∫x^n exp(-x)dx=n! [0~∞]

回答No.1

proto

まず適当に
　　I[n] = ∫[0~∞]{(x^n)*exp(-x)}dx
と置く、
　　I[n] = ∫[0~∞]{(x^n)*(-exp(-x))'}dx
と見て部分積分すると
　　I[n] = [-(x^n)*exp(-x)]_0~n +∫[0~n]{n*(x^(n-1))*exp(-x)}dx
　　　　 = 0 +n*∫[0~n]{(x^(n-1))*exp(-x)}dx
　　　　 = n*I[n-1]
よって、I[n]の漸化式が得られた。

また、n=0のときは
　　I[0] = ∫[0~∞]{exp(-x)}dx = [-exp(-x)]_0~∞
　　　　 = 1

ここからは数列の問題、
　　I[0] = 1
　　I[n] = n*I[n-1]
から、
　　I[n] = n!
となることを証明する。
具体的には数学的帰納法を使えばよい。

お礼

お早い回答ありがとうございます。
とってもたすかりました！！！

これを参考に勉強していきたいとおもいます！