統計

質問

統計
データ(x1,y1),(x2,y2)・・・・,(xn,yn) に大して標本共分散Sxyと標本相関係数Rxy があるとき
-1≦Rxy≦1の示し方と、
Yj=aXj+b(a≠0）のとき|Rxy|=1の示し方を教えてください。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

S(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])].
R(X,Y)=S(X,Y)/root{V[X]V[Y]}.

ヘルダー（or シュワルツ）の不等式。
E[(X-E[X])(Y-E[Y])]^2
≦E[(X-E[X])^2]E[(Y-E[Y])^2]
=V[X]V[Y].

R^2(X,Y)
=E[(X-E[X])(Y-E[Y]]^2/V[X]V[Y]
≦1.

Y=aX+b.

V[Y]
=E[(X-E[X])^2]
=E[(aX+b-aE[X]-b)^2]
=a^2E[(X-E[X])]
=a^2V[X].

S(X,y)
=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]
=E[(X-E[X])(aX+b-aE[X]-b)]
=aE[(X-E[X])(X-E[X])]
=aV[X].

R(X,Y)
=S(X,Y)/root{V[X]V[Y]}
=aV[X]/root{V[X]a^2V[X]}
=1.