【数学】偏相関係数の式の導出過程を教えてください

質問

偏相関係数の定義式の導出過程を教えてください。

rxy・z=(rxy-rxz*ryz)/(√1-r^2xz)*(√1-r^2yz)

rxy=xとyの相関係数
ryz=yとzの相関係数
rxz=xとzの相関係数

rxy・z=zの影響を取り除いたxとyの偏相関係数

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

x,y,zの偏差平方和をそれぞれSxx,Syy,Szzとし、xとy,yとz,xとzの偏差積和をそれぞれSxy,Syz,Sxzとします。

Sxx = Σ(x-Σx/n)^2
Syy = Σ(y-Σy/n)^2
Szz = Σ(z-Σz/n)^2
Sxy = Σ(x-Σx/n)(y-Σy/n)
Syz = Σ(y-Σy/n)(z-Σz/n)
Sxz = Σ(x-Σx/n)(z-Σz/n)

xのzへの回帰直線の傾きaと切片bはそれぞれ

a = Sxz/Szz
b = Σx/n-aΣz/n

yのzへの回帰直線の傾きcと切片dはそれぞれ

c = Syz/Szz
d = Σy/n-cΣz/n

です。

さて、zの影響を取り除いたxとyとは、これらの回帰直線の残差のことで、x-az-bとy-cz-dの相関係数がzの影響を取り除いたxとyの偏相関係数となります。

x-az-bの偏差平方和は

Σ(x-az-b-Σ(x-az-b)/n)^2
= Σ((x-Σx/n)-a(z-Σz/n))^2
= Sxx-2aSxz+a^2・Szz
= Sxx-Sxz^2/Szz

y-cz-dの偏差平方和は

Σ(y-cz-d-Σ(y-cz-d)/n)^2
= Σ((y-Σy/n)-c(z-Σz/n))^2
= Syy-2cSyz+c^2・Szz
= Syy-Syz^2/Szz

x-az-bとy-cz-dの偏差積和は

Σ(x-az-b-Σ(x-az-b)/n)(y-cz-d-Σ(y-cz-d)/n)
= Σ((x-Σx/n)-a(z-Σz/n))((y-Σy/n)-c(z-Σz/n))
= Sxy-cSxz-aSyz+acSzz
= Sxy-Sxz・Syz/Szz

であるので、偏相関係数は

(Sxy-Sxz・Syz/Szz)/√{(Sxx-Sxz^2/Szz)(Syy-Syz^2/Szz)}
= (Sxy/√(Sxx・Syy)-(Sxz/√(Sxx・Szz))・(Syz/√(Syy・Szz)))/√{(1-Sxz^2/(Sxx・Szz))(1-Syz^2/(Syy・Szz))}
= (rxy-rxz・ryz)/√{(1-r^2xz)(1-r^2yz)}

となります。

お礼

ご回答、ありがとうございます。
懇切丁寧な解説で すんなりと理解することができました。

今回は本当にありがとうございました。