射影変換について

質問

射影変換について　

前回射影変換について質問させて頂きました。
前回の続きで新たに質問させて頂きます。
前回の質問内容：http://okwave.jp/qa/q5979978.html

射影変換の例として、高次関数を1次関数に変換するものに射影変換となるものがあると
ご回答頂きました。
＞高次式f(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + ...を、x の2乗以上の項を切り捨てた
＞P{f(x)} = a + bxに写す変換は、P[P{f(x)}] = a + bx なので、射影変換である。
高次式を1次式に変換する場合に射影変換とならない場合もあるのでしょうか？
私の認識では、高次式を1次式にするような変換は全て射影変換なのですが。。。

射影変換の定義はどのように定義されるのでしょうか？
Webで検索してもなかなか理解できる内容がHitしないので・・・

また、射影変換の具体的例などもご教示頂けるとありがたいです。
私が知っている範囲では正射影ですが他にも重要なものがありましたら
よろしくお願い致します。

回答No.2

felicior · ベストアンサー

前回のご質問を見る限り、ご質問の内容は幾何学における射影変換についてですね。
射影変換は射影空間の性質を保つ変換のことで、座標の一次分数関数によって変換されるものです。
と言っても何のこっちゃという感じだと思いますが。

ビルの前に立ってそのビルの写真を撮ることを考えてみましょう。水平に写真を撮れば
ビルの垂直線は平行なままで写ると思います。しかし少しビルを見上げて撮ると遠近法に
よってビルの垂直線は上に行くに従ってすぼまって写ります。
このような二つの写真間で対応する点の位置を変換するのが射影変換です。

グーグルマップのストリートビューをご覧になったことがあるでしょうか。写真の上をドラッグ
することで見る方向を連続的に変えることができますが、これはまさに射影変換をやっています。

注意として、射影変換をしてもビルの裏側は見ることができません。あくまでも立ち位置は
そのままで視点(視線)を変えるだけです。これによって元々平行線だったのがそうでなく
なったり、その逆が起こるのがユークリッド変換やアフィン変換との違いですが、直線が直線
のままに写るのは共通です。

もうひとつ、よく三次元から二次元に落とすのが射影変換であると解説しているサイトを
見かけますが違います。変換(Transformation)とは写像の中で特に同じ空間内における
全単射を指すのが慣習ですから、二次元射影変換なら二次元から二次元への変換です。

>射影変換の例として、高次関数を1次関数に変換するものに射影変換となるものがある

このようなものは射影(Projection)とは言っても射影変換とは言わないと思います。
ちなみに二次以下の多項式a+bx+cx^2をa+bxに写す写像などが射影と呼ばれる理由は、
a+bx+cx^2を(a,b,c)と書けば、(a,b,c)を(a,b,0)に写すことになり、三次元空間の点を
ＸＹ平面に正射影していることになるからです。

お礼

3次元xyz→3次元のxyへの写像と言うことで正射影は射影変換の代表的なものであると理解しました。

補足

ご回答ありがとうございます。
例もわかりやすく大変感謝しています。
グーグルマップのストリートビューの例は大変分かりやすく
直感的に理解できました。

a+bx+c^2xを（a,b,c）として（a,b,0）つまりxy平面への射影を正射影という事は
理解できます。
正射影は射影変換の代表的なものだと認識していましたが、変換とは「同じ空間への
全単射」という事なので、この場合3次元→2次元より正射影は射影変換ではないと
理解したのですが間違いでしょうか？

回答No.1

Tacosan

f(x) = a + bx + cx^2 + ... → P[f(x)] = ab + cx
は射影でしょうか?