「または」「かつ」の図示

質問

例えば下のように表された不等式の領域はどのように図示すればいいのかわかりません。
(EX1)
(x<-4,4<x)
1+x-y<0かつ1-x-y>0
または
1+x-y>0かつ1-x-y<0

(-4<x<4)
-(x^2/8)-1≦yかつ（x-y+1>0または-x-y+1>0）

(EX2)
x^2+y^2≦1かつy≧0は円の中の上半分で
x^2+y^2≦1またはy≧0は円の下半分とy≧0の部分ですよね。
こっちはわかるのだけれども。（あってるよね？）
「または」は和集合で、「かつ」は共通部分？

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

ONEONEさん、こんにちは。
不等式で表された領域を考えるとき、まず図示しましょう。

＞(EX1)
(x<-4,4<x) 　　　←まず、このｘの範囲は、定義域です。
1+x-y<0かつ1-x-y>0 ・・(1)
または
1+x-y>0かつ1-x-y<0 ・・(2)

(1)を図示してみると、
1+x-y<0より、y>x+1これは、直線y=x+1よりも上の部分
1-x-y>0より、y<-x+1これは、直線y=-x+1より下の部分。
この共通部分。
(2)を図示してみると、
1+x-y>0より、y<x+1これは、y=x+1の下の部分。
1-x-y<0より、y>-x+1これは、y=-x+1よりも上の部分。
この共通部分。
ですから、「(1)または(2)」というのは、
(1)または(2)の部分。
(1)(2)をあわせた部分ですね。

ここで、それを斜線で引いた上で、定義域x<-4,4<xを考えてみます。
(1)(2)をあわせた部分は、チェック模様だったのが、真ん中の-4≦x≦4の部分をとるので、
左に広がる台形と、右に広がる台形のような形になるでしょう。
注意としては、図示したあとで、「いずれも境界は含まない」と書くことです。

＞(-4<x<4)
-(x^2/8)-1≦yかつ（x-y+1>0または-x-y+1>0）

これは、まず、x-y+1>0または-x-y+1>0を図示します。
それと、-(x^2/8)-1≦yこれは、上に凸の放物線の境界を含む上側です。
これとの共通部分をまず図示します。
その上で、ｘの定義域-4<x<4にあてはまる部分が求める部分ですね。

＞(EX2)
x^2+y^2≦1かつy≧0は円の中の上半分で
x^2+y^2≦1またはy≧0は円の下半分とy≧0の部分ですよね。
こっちはわかるのだけれども。（あってるよね？）
「または」は和集合で、「かつ」は共通部分？

そのとおりです！！
x^2+y^2≦1かつy≧0これは、
　　↑
円の円周を含む内部
なので、円の円周を含む内部で、なおかつ、y≧0である部分、
ということなので、円の内部で、上半分の領域です。
等号はすべて含んでいるので、境界はすべて含みます。

x^2+y^2≦1またはy≧0
こっちのほうは、円の境界を含む内部＋y≧0である部分
となるので、ｙ軸よりも上の部分（ｙ軸を含む
すべてと、
円の内部で、下半分（円周を含む）との和集合になっています。

「または」は和集合で「かつ」は共通部分です。
これさえ、頭に入れておけば、大丈夫！！
頑張ってください。

お礼

ああ！わかりました。
どうもありがとうございます。共通部分と和集合でいいのですね。
ではがむばります。いつもどうもです。

回答No.1

neue_reich

「または」は２つ（若しくはそれ以上）の集合の領域全てであり、
「かつ」は２つ（若しくはそれ以上）の集合の共通部分です。

ＥＸ２で言えば、
　「x^2+y^2≦1かつy≧0」は円の内部であり、ｘ軸より上。
　「x^2+y^2≦1またはy≧0」は円の内部とｘ軸より上ですので、
合っていますよ。

但し、境界条件をちゃんと書きましょう。
ＥＸ１では不等号なので、境界部分は含んではいけません。
ＥＸ２は不等号にイコールがついていますので、
境界部分を含むと明示しましょう。

良くある記法では、ただの不等号の境界は破線、
イコール付き不等号の境界は実線で書きます。

（ＥＸ１は、それぞれの直線を座標平面に書いてみて下さい。
すぐにわかると思います。ｘの範囲も書き込むのを忘れずに）

お礼

どうもありがとうございます。
教会は気をつけなくてはいけませんね。