解法が思いつきません。 よろしくお願いします。

質問

解法が思いつきません。　よろしくお願いします。

また，カントール集合とは関係がありますでしょうか？

集合X，Yに対し，XからYへの全単射を与えよ。

(1)X=(0，1)　Y＝(0，1)∨(2，3)

(2)X=(0，1)　Y＝[0,1]∨[2,3]

回答No.1

funoe · ベストアンサー

回答は100万種類くらいあるんでしょうが、
すぐに思いつくひとつの例としては、

(1)X=(0，1)　Y＝(0，1)∨(2，3)

f:X→Y　を次のように定義する。
x=1/2^n　(n∈N)のとき　f(x)=1/2^(n+1)
xが上以外で、x∈(0,1/2)のとき　f(x)=2x
x∈(1/2,1)のとき　f(x)=2x+1　　

(2)X=(0，1)　Y＝[0,1]∨[2,3]
f:X→Y　を次のように定義する。
x=1/2　のとき　f(x)=０
x=1/4　のとき　f(x)=1
x=1/8　のとき　f(x)=2
x=1/16　のとき　f(x)=3
x=1/2^n　(n=5,6,7,8,,,・・)のとき　f(x)=1/2^(n-4)
xが上以外で、x∈(0,1/2)のとき　f(x)=2x
x∈(1/2,1)のとき　f(x)=2x+1

多分、全単射になってると思うけど。

なにも思いつかないときは、ベルンシュタインの定理の証明の論旨にしたがって、
ＸからＹの中への単射と、ＹからＸの中への単射を
つかって構成すればよいので、何通りでも作れますよね、