底面積１０cm^2、高さ１０cmの円筒Aの上に、

質問

底面積１０cm^2、高さ１０cmの円筒Aの上に、
底面積５cm^2、高さ１０cmの円筒Bを乗せたような形の容器に、（AとBの内部の空間はつながっている）
水（密度１g/cm^3）を満タンに入れると、
Aの底面が受ける圧力は？　　　　　　　　………２０gw/cm^2
（念のため……gw=グラム重）

中学生の時のノートを見ていたら、上のような問題を見つけました。
これっておかしくはないでしょうか？
水の全質量は「密度×体積」より１×１５０＝１５０gですよね？
つまり、Aの底面にかかる力（全圧力）は１５０gw。
でもこの問題の答えの圧力を使って考えると、
Aの底面にかかる力は「圧力×面積」より２０×１０＝２００gwとなってしまいます。

私のノートの書き写し間違いですよね？
それとも、何か重要なことを見逃しているのでしょうか？

回答No.8

htms42 · ベストアンサー

＞Aの底面にかかる圧力は１０１０gw/cm^2ということになるのですか？

「Ａの底面にかかる圧力」の意味がＡの内面の底の部分にかかる圧力という意味であればそういうことになります。
ただし容器ごと秤に乗せた場合は容器の重さ＋水の重さがかかってきます。
容器の底面から秤にかかる力を面積で割った値は水の圧力とは異なります。
上の方で容器の首が細くなっていれば容器の壁に上向きの圧力成分が生じます。底面に加わる下向きの力と容器の壁に加わっている上向きの力の差し引きが秤にかかっていく力です。

密閉した容器に１気圧の空気がはいっているとします。
底面には１気圧かかっています。
１ｃｍ^2当たり１ｋｇｗです。水１０ｍ分です。
空気の目方がこんなにあるわけないです。
上下の差し引きです。

細い管の中に水が入っている場合が不思議なようですが入れ物の中にある空気がどこかで外気とつながっていると圧力は１気圧になります。１ｃｍ^2当たり１ｋｇｗというのは大気圏全部の空気の高さに相当しているのですからものすごく長い管を考えているのと同じです。

もう一度書きます。
容器の内部の水が容器の底に及ぼす力と容器の重さを加えたものが秤にかかっていくのではありません。
容器の内部の壁全体にかかっている力の合力と容器の重さを加えたものが秤にかかっていくのです。

お礼

やっともやもやが消えました。
すっごくわかりやすかったです。
本当にありがとうございました。

回答No.7

htms42

＃２、＃３の考え方が正解だと思います。
どこに混乱の理由があるか考えてみます。

水圧は容器の内部で容器の壁すべてにかかります。
これは深さによってきまります。
容器ごと秤にかけた時は中にあるのが液体であるか否かに関係なく全体の重さがかかってきます。
ここから出てきた疑問だと思います。
秤にかけた場合は水から容器にかかる力のぜんたい（合力）を考えないといけません。
底面にかかっている圧力（下向き）×底面積－Ａの上の面にかかる圧力（上向き）×Ａの肩の部分の面積
になります。

上下逆にした例で考えるのも面白いです。
下に細い円筒がある場合です。
底面にかかる水圧は同じです。
底面積×深さで考えると５０ｇｗになってしまいます。
でも秤にかければ容器の重さ＋１５０ｇになります。上になっているＡの横にはみ出している部分にも圧力が働くからです。

箱の中に人が入っているとします。丈夫な上ぶたが付いているとします。
箱の高さは身長よりも少しだけ大きいとします。
箱ごと秤に乗せて重さを量ります。
人の体重＋箱の重さがかかってきます。
人の姿勢には関係しません。
箱の底と上ぶたの間で踏ん張っていても同じです。
箱の底を足で押す力は大きくなりますが箱全体にかかっている力は同じです。足で下の押す力と手で上ぶたを押し上げる力の差です。
箱の内部にある物体から箱にかかる力と箱から秤にかかる力とを混同してはいけません。　

気体の入った容器を秤にかけると（浮力を考えていなければ）容器の質量＋気体の質量　分の重さがかかってきます。これも同じです。底にかかる気体の圧力と容器の上面にかかる気体の圧力との差から気体の質量が出てきます。温度が同じとすれば分子の速度は同じですが高さの分少し密度が小さくなります。その分上の面での圧力が小さくなります。その部分に重力の効果が含まれています。

補足

それでは、円筒Bの代わりに底面積１mm^2、高さ１０m（１０００cm）の円筒Cが、
円筒Aの上に乗ったような、非常にシュールな形の容器に水が満タンに入っていると、
Aの底面にかかる圧力は１０１０gw/cm^2ということになるのですか？

回答No.6

kagakusuki

ANo.4です。
　少し補足致します。
　　もし、水圧の大きさが、上に載っている水の質量で決まるのであれば、Ａの上面でＢと重なっていない面の上には水がないため、Ａの上面には水圧が加わらない筈ですから、Ａの上面に穴を開けても水圧が無いため、穴から水が出て来ない事になります。
　又、円筒の側面は水の重さを支えていない訳ですから、側面にも水圧が加わらない筈で、側面に穴を開けても水が出て来ない事になります。
　しかし、実際には、ANo.2様も書かれておられる様に、Ａの上面にも、下から上に向かって水圧が加わります。
　同様に、側面にも水圧は加わります。
　この様に、水圧を考える場合に、水の質量を底面全体で支えるという考え方では、正しい結論を得る事は出来ません。

回答No.5

sanori

Ｎｏ．１の回答者です。
ちょっとコメントしておきますが、
底面にかかる圧力は、その上に乗っかっているものの荷重を底面積で割るだけで求められます。

プールの底に小さいくぼみができても、そこだけに圧力が集中しないのは、水が液体であるため、くぼみ以外の場所も水の重さを支えているからです。

ダンボールの荷物を床に置いたとき、ダンボールの底面にダンボールの中から釘の先端が飛び出していると、床はその部分で集中的に大ダメージを受けます。
これは、釘の先端に荷重が集中するからです。
ところが、布団の上に置けば、釘の先端もダンボールの底面も布団に接触するので、釘の部分に圧力が集中しません。
つまりこれは、板の間に寝ると骨が当たって痛いけれども、ふわふわの布団の上だとそういうことがないので快適に寝れることと同じことを言っています。

底面にかかる圧力というのは、そんなものなのです。

回答No.4

kagakusuki

２０gw/cm^2の方が正しいです。
　水圧は水深に比例しますから、

１g/cm^3×(10cm+10cm)=20gw/cm^2

になります。
　Ｂの底面の深さにおいて、水圧が10gw/cm^2あり、それにＡの深さ分の水圧である10gw/cm^2が加わるのですから、合わせて20gw/cm^2になります。
　もし、水圧の大きさが、上に載っている水の質量で決まるのであれば、例えば、長さ25m×幅10m×深さ1.5mのプールの底に、何かの拍子に底面積1mm^2の窪みが出来ると、その瞬間に3750万気圧もの水圧が窪みの底に加わって、あっと言う間にプールに穴が開いてしまう事になる筈ですが、実際には、そんな事にはなりません。

回答No.3

yokkun831

図の添付を忘れました。せっかくなので…

回答No.2

yokkun831

Aの底面にかかる力（下向き）
圧力×面積＝２０×１０＝２００ｇｗ

Aの上面にかかる力（上向き）
圧力×面積＝１０×（１０－５）＝５０ｇｗ

容器Aが受ける水圧の合力（下向き）
２００－５０＝１５０ｇｗ

となるのではないかと思います。
以上で大気圧は無視しています。水圧は深さのみで決まります。

回答No.1

sanori

こんにちは。

円筒Ａの重量（荷重）は、
Ｆa　＝　１ｇｗ／ｃｍ^3　×　１０ｃｍ^2　×　１０ｃｍ
円筒Ｂの重量（荷重）は、
Ｆb　＝　１ｇｗ／ｃｍ^3　×　５ｃｍ^2　×　１０ｃｍ
Ａの底面積は、
Ｓ　＝　１０ｃｍ^2

Ａの底面にかかる圧力は、
（Ｆa　＋　Ｆb）／Ｓ
　＝　（１×１０×１０　＋　１×５×１０）／１０
　＝　１×１０　＋　１×５
　＝　１５（ｇｗ／ｃｍ^2）

＞＞＞水の全質量は「密度×体積」より１×１５０＝１５０gですよね？
＞＞＞つまり、Aの底面にかかる力（全圧力）は１５０gw。

そのとおりです。