http://okwave.jp/qa/q5965948.html で

質問

http://okwave.jp/qa/q5965948.html でした質問の回答に関する質問です
（私があまりに多くの質問をしてしまったので閉じることにしました）。

次の立体V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, x^2 + y^2 <= b^2} (a>b>0)の体積|V|を求めよ、
という問題で答えは
|V| = 2*∫∫_[x^2 + y^2 <= b^2] √(a^2 - x^2 - y^2) dx dy
= (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}).
となっています。

…これをANo.2さんが

x=rcosθ,　y=rsinθ　( 0≦r≦b )
の置換で、
V=8∫[0,π/2]dθ∫[0,b]√(a^2-r^2)rdr

さらに、a^2-r^2=t　とおけば、

V=8∫[0,π/2]dθ∫[a^2,a^2-b^2]t^(1/2)(-1/2)dt　... [1]
=4∫[0,π/2]dθ∫[a^2-b^2,a^2]t^(1/2)dt　　　　　... [2]
これを計算して、V= (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3})

…と解いてくださったのですが、
積分の定義域 ∫[a^2,a^2-b^2] をどう求めたのかが分かりません。
a^2　と　a^2-b^2　を求めた式を教えてください。

それと…あれ？たった今、気付いたのですが、
[1]では∫[a^2,a^2-b^2]になっているのですが、
[2]では∫[a^2-b^2,a^2]になっていますよね？
どちらが正しいのでしょうか？

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

え?
「a^2-r^2=t とおいた」んだよね? で, r の範囲は 0～b だよね?
t の範囲はどうなる?
最後の段落は, 「どっちも正しい」が正解.

お礼

ああ、そういうことでしたか！
思ったより簡単じゃないですか！（ってコロンブスの卵ですね(^^ゞ）
そうと分かれば、早く他の似たような問題を解きたいです。
ありがとうございました！