∫[0,1-u] {v(1-u-v)^2} dv

質問

∫[0,1-u] {v(1-u-v)^2} dv

この積分が解けません。
計算機によると{(u-1)^4}/24になるようです。

全部展開してから解けば解けるんでしょうけど
それよりも置換積分か部分積分を使って解きたいんです。

もし、∫[0,1-u] {v(1-u-v^2)^2} dvだったなら
∫[0,1-u] (-1/2)(1-u-v^2)'(1-u-v^2)^2 dv
= (-1/2)[(1/3)(1-u-v^2)^3]_[0,1-u]
としたんでしょうけど、この問題では
v(1-u-v)^2なので(1-u-v)'は-1になってしまいます…。

では、お願いします。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

> それも出来ないので質問しています。
> f(x) = (1-u-v)^2
> g(x) = v
> だとすると
> ∫(1-u-v)^2 * v = (1-u-v)^2 * v^2/2 - ∫ (-1)(1/2)(1-u-v) * v^2/2
> のような感じで良いのでしょうか？

∫(1-u-v)^2 * v dv = (1-u-v)^2 * v^2/2 - ∫ (-1)(2)(1-u-v) * v^2/2 dv
ではないでしょうか？
右辺の∫～dv内の(1-u-v)の係数が違いますし、それから末尾のdvが抜けています。

∫(1-u-v)^2 * v dv = (1-u-v)^2 * v^2/2 - ∫ (-1)(2)(1-u-v) * v^2/2 dvの右辺を
整理すると(1-u-v)^2 * v^2/2 + ∫(1-u-v) * v^2 dvとなります。
あとは∫(1-u-v) * v^2 dvにもう一回部分積分を使えば、(1-u-v)が消えてくれますよね。

f(x) = v, g(x) = (1-u-v)^2と置いても解けます。

∫(1-u-v)^2 * v dv
= (-1/3)v(1-u-v)^3 - ∫(-1/3)(1-u-v)^3 * 1dv
= (-1/3)v(1-u-v)^3 + (1/3)∫(1-u-v)^3dv

となります。
∫ (1-u-v)^n dv = (-1/n)(1-u-v)^(n+1)となるのは大丈夫ですか？
もし分からなければt = (1-u-v)とおいて置換積分を考えてください。

お礼

部分積分でも置換積分でも解けたのですね。
t = (1-u-v)と置けばよかったのですね。

間違いの指摘と詳しい説明、ありがとうございました！

回答No.3

R_Earl

ANo.2ですが、最後の部分を訂正です。

(誤)∫ (1-u-v)^n dv = (-1/n)(1-u-v)^(n+1)となるのは大丈夫ですか？
(正)∫ (1-u-v)^n dv = {-1/(n+1)}(1-u-v)^(n+1) + Cとなるのは大丈夫ですか？

係数の書き間違いしていたのと、積分定数を書き忘れていました。
失礼しました。

お礼

いえいえ、とんでもありません、本当にありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

部分積分すればいい.

補足

それも出来ないので質問しています。
f(x) = (1-u-v)^2
g(x) = v
だとすると
∫(1-u-v)^2 * v = (1-u-v)^2 * v^2/2 - ∫ (-1)(1/2)(1-u-v) * v^2/2
のような感じで良いのでしょうか？