質量m、半径aの球(一様密度)の中心がサイクロイドx＝R(θ＋sinθ

質問

質量m、半径aの球(一様密度)の中心がサイクロイドx＝R(θ＋sinθ)、y＝-R(1+cosθ)に沿うように運動する。球が「すべる場合」と「転がる場合」について振動の周期を求めよ。

という問題でどのようにすればよいのか全くわかりません。わかることは、すべる場合より転がる場合のほうが摩擦がある分周期が短いということくらいです。

どなたかよろしくお願いします。

回答No.1

yokkun831

>すべる場合より転がる場合のほうが摩擦がある分周期が短い

逆ですね。転がる場合，並進の慣性に回転の慣性が加わるために，周期が大きくなります。

「'」で時間微分を表します。

x' = Rθ'(1+cosθ)
y' = Rθ'sinθ
∴　v^2 = x'^2 + y'^2 = 2R^2θ'^2(1+cosθ) = 2Ry'^2/(y+2R)

初期条件　y=y0，v=0 とします。

(i)すべる場合

エネルギー保存
1/2・mv^2 + mgy = mgy0

上の結果を代入して，

y'^2 = g/R・(y0-y)(y+2R)

∴　T = 4√(R/g)×Int　　Int = ∫[-2R～y0]dy/√{ (y0-y)(y+2R) }

を得ます。積分は，y=1/2・{ (y0-2R)+(y0+2R)cosψ }　とおいて
dy = -1/2(y0+2R)sinψ
積分範囲は，[-2R,y0] → [π,0]
∴　Int = ∫[0～π] dψ = π

結局，　T = 4π√(R/g)

(ii)転がる場合

速さvのとき，回転の角速度ωとすると，v = aω
（※　a<<Rを前提としています）
回転の運動エネルギーは，1/2・Iω^2 = 1/5・mv^2
エネルギー保存

1/2・mv^2 + 1/5・mv^2 + mgy = mgy0

y'^2 = 5g/(7R)・(y0-y)(y+2R)

よって，T = 4π√{ 7R/(5g) }

となると思います。

お礼

わかりやすい回答ありがとうございました。