量子力学の基底展開についてです。

質問

量子力学を勉強しているのですが、途中からわけがわからなくなって、式を追うだけになってしまいました。もしよろしければご回答お願いします。
u1(x)=√2/a・sin(π/a)x,u2(x)=√2/a・cos(π/a)x,u3(x)=√2/a・sin(2π/a)x・・・と定める。
(1)関数Asin^3(π/a)x・cos^2(π/a)xを基底展開せよ。
(2)(1)で求めた関数を規格化し、状態ベクトルを求めよ。

ご回答よろしくお願いします。

回答No.1

phyonco

(1) sin^3(X)cos^2(X) = sin^2(x) * sin(2X)/2 = (1/4)(1 - cos(2X)) * sin(2X)= (1/4)( sin(2X) - sin(4X) / 2) = u_3 / 4 - u_7 / 8, 但しX = (πx/a)と置いた。
(2) f = u_3 / 4 - u_7 /8 と置く。|f|^2 = |u_3|^2 / 2^4 + |u_7|^2 / 2^6 + a u_3^* u_7 + b u_3 u_7^*
u_n は規格直交なので、 |f|^2を積分したものは A^2 = 1/ 2^4 + 1 / 2^6 = (1/16) ( 1 + 1/4 ) = 5 / 2^6。従って規格化された状態ベクトルは psi = (8/ sqrt{5}) f と書ける。