物理だけど、数学みたいなものです。

質問

物理だけど、数学みたいなものです。

logV=-t/RC+logV0
を導けって課題なんですが、どの本を見ても分りません。
先生も教えてくれないし、提出期限切れてしまいました。
でも、その課題を解かないと提出出来ないし…。
てなわけで、質問しました。
上の式について詳しく書いてある本の紹介でもなんでも良いので、教えてください。
因みに、
V：起電力
t：時間
R：抵抗
C：コンデンサー
V0：t=0の時の起電力

です！！
答えていただけると嬉しいです。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

図が見えないんですが、
こんな回路のことですか？

電源Ｖ-------スイッチ------抵抗Ｒ---(ａ)-----｜Ｃ｜-------ＧＮＤ

コンデンサにたまっている電荷Ｑは
Ｑ＝ＣＶ1　　・・・（あ）
よって、

抵抗の左側の電圧はＶ、右の電圧はＶ1なので、電源から来る電流をｉと置いて、オームの法則を適用すれば、
Ｖ－Ｖ1　＝　Ｒｉ　　・・・（い）
ところが、回路は一本道なので、ｉは、コンデンサにたまる電荷の時間的変化と同じ。
よって、
Ｖ－Ｖ1　＝　Ｒ・ｄＱ／ｄｔ　・・・（い）’

（あ）より、
ｄＱ／ｄｔ　＝　Ｃ・ｄＶ1／ｄｔ　・・・（う）
これを（い）’に代入すれば、

Ｖ－Ｖ1　＝　ＲＣ・ｄＶ／ｄｔ

という微分方程式の出来上がり。

（１／ＲＣ）・ｄｔ　＝　ｄＶ／（Ｖ－Ｖ1）

ここで、Ｖ2＝Ｖ－Ｖ1　と置けば、ｄＶ2／ｄＶ1＝－１
よって、
（１／ＲＣ）・ｄｔ　＝　－ｄＶ2／Ｖ2
（１／ＲＣ）∫ｄｔ　＝　－∫ｄＶ2／Ｖ2
（１／ＲＣ）・ｔ　＋　積分定数　＝　－lnＶ2
（１／ＲＣ）・ｔ　＋　積分定数　＝　－ln（Ｖ－Ｖ1）　・・・（え）

積分定数をどうするかですが、
ｔ＝０　のとき　Ｖ＝Ｖ0　という条件があるので、
（１／ＲＣ）×０　＋　積分定数　＝　－ln（Ｖ0－Ｖ1）
より
積分定数　＝　－ln（Ｖ0－Ｖ1）

（え）に代入して、
（１／ＲＣ）・ｔ　－　ln（Ｖ0－Ｖ1）　＝　－ln（Ｖ－Ｖ1）
－ｔ／ＲＣ　＋　ln（Ｖ0－Ｖ1）　＝　ln（Ｖ－Ｖ1）

というわけで、
Ｖ1＝０　にすれば、ご質問文にある答えと一致します。
それは、ＶやＶ0という電圧の値というのが、抵抗Ｒの両側の電位差だということですね。

お礼

とっても助かりました！！
ありがとうございます(>_<)
これで家に帰れます！
本当にありがとうございました！！