宇宙が無限であることの証明

質問

宇宙が無限であることの証明

宇宙が無限であることを証明する。

背理法により行う。

仮に宇宙が有限であるとする。

すると適当な大きさの半径R[ｍ]の球体G0により宇宙全体を包み込むことができる。
次に、この球体の半径Rより1ｍ大きな球体G1を考える。
G0とG1を同心としたとき、G1とG0の差分として1ｍの厚みを持つ球面体（G1-G0）が得られる。
球面体（G1-G0）は球体G0の外部にあるがこれも空間を構成するのでやはり宇宙の一部である。
なぜなら任意の空間は宇宙の部分であるからである。
つまり適当な大きさの半径R[ｍ]の球体G0により宇宙全体を包み込むことができるとした最初の仮定は矛盾を生む。
従って宇宙は有限では有り得ない。
宇宙は無限である。

証明終わり。

ご意見ください

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補足：
実を言うと、宇宙が有限か無限かを問うこの問題、最初は哲学の問題であろうと考え最初に哲学カテに投稿したのですが、そこでは全く期待外れの結果に終わってしまいました。
どうやら哲学カテの方は完全に宗教漬になっていて神やら仏やらの議論ばかりに終始し真理について語る場所ではないことが分かりました。
そこで同様の問題を物理カテに投稿しました。物理は科学なので少しはマシな回答を頂けるのではないかと期待したからです。
さらに同じ問題を数学カテにも投稿したわけです。数学カテであればさらにマシな回答が頂けるのではと考えたのです。

回答No.12

tak7171 · ベストアンサー

私もalice_44様と同感に思います。
私には宇宙の有限無限はどうでもいいのですが、
質問者様の背理法には、当初提示された論中にはない、
「宇宙は万物である」という、「後付」で、
仮定を上げること自体を否定するような大前提を加えないと
結論が成立しない、という矛盾があると思います。
しかし質問者様がそれに納得できず、独自の証明を上げろというのでしたら
質問者様の真似で背理法をしてみましょう。

ここに宇宙αが存在する。

宇宙αは有限であると仮定する（1）

（1)が正しければ、境界が存在する-(2)　

　※境界が存在しなければ有限である証明が出来ず、(1)は否定される-(2*）

（2）が正しければ、境界には外側が存在する-(3)

　※外側が存在しなければ(3)は否定され(2*)に戻る

（3）が正しいとして、2つの仮定を提示する。

　　　1.境界の外側は宇宙αと同じ要素で構成されている-(4)

　　　2.境界の外側は宇宙αと異なる要素で構成されている-(5)

（4）が正しければ、境界の内外の差別化が困難になり

　　 境界は意味を失って(2)は否定され、それによって(1)も否定される。

（5）が正しければ、宇宙αを内包する、宇宙αとは異なる空間が存在することになる。

仮にこれを宇宙βとする。

仮定(1)を証明することによって宇宙βが生まれたが、
仮定(1)を宇宙βに当てはめると、宇宙γが生まれることになる。
さらに宇宙γに仮定(1)を当てはめ・・・と繰り返すと、
有限の宇宙を内包する別宇宙が無限に生まれることになる。

つまり宇宙の有限を証明することによって、
逆に無限を認めざるをえないパラドックスに陥る。

だから(1)は否定され、宇宙は無限である、という結論に達する。

補足

うーむ、実に素晴らしい
今何度か読みなおしているが全く完璧であります。
12番目にしてやっと期待していた以上の回答を得ることが出来ました。
ねばった甲斐があったというものです。
またｇｏｏ事務局に消されんうちにコピー取っとかないといけませんね。
もうしばらく考えてみますが問題なさそうなので早速、数学基礎論の大御所（志賀浩二先生あたり）に見てもらわないと。
証明のタイトルは、「宇宙が無限であることの証明　－　有限宇宙のパラドックス」でよいでしょう。
有難うございます。

回答No.3

noname#152421

その質問を数学的に扱いたいならば、「宇宙」とか、「XXXは無限である」「XXXは有限である」という言葉を数学的に定義しておかないとその先に進めません。

好意的に解釈しても、質問者さんのいう「証明」では、「宇宙」がある距離空間に埋め込まれていることが前提になっていて駄目です。

「宇宙」が定義されていて、ある距離空間に埋め込まれているとして、その距離空間の中のある1点が「宇宙」に属するかそうでないのか判定するための条件が提示されていなければいけません。しかし質問文にはその情報が与えられていません。「実3次元ユークリッド空間は有界ではない」を示そうとしているようにみえます。

「証明」もNo.2への「お礼」も宗教がかっているので、哲学カテで宗教的な回答が寄せられてもそれは至極当然という気がします。

お礼

＞質問者さんのいう「証明」では、「宇宙」がある距離空間に埋め込まれていることが前提になっていて駄目です。

面白いことをいいますね。
宇宙に距離があるから大工は巻尺を使って天井の高さを測るのではないのですか。

回答No.2

hitomura

この証明は問題ありだと思います。

「仮に宇宙が有限であるとする」とありますが、そうすると宇宙の外側ではどのような幾何学的構造になっているかはまったく不明であり、長さという概念がないかもしれません。

しかし、その直後で「適当な大きさの半径R[ｍ]の球体」という宇宙の外側に内側でしか通用しないかも知れない長さを使っております。つまりそのような球体はないかもしれません。
あるというのならばその存在を証明しなければなりません。

その球体の存在証明なしにそれ以降の論理展開を行ってもこの証明は無意味です。

お礼

長さは無限量の一つとして確実に存在します。
我々はそのことをはっきりと認識できています。
認識できるからこそ我々は直線を何の不自由もなく自由に扱うのです。
宇宙の幾何学的構造がどうであれ長さはそれとは独立に常に存在します。
そして半径R[ｍ]は有限の値であり必ず存在するし、R+1も同様に存在します。
もちろんこれらを半径とするＧ０，Ｇ１も存在します。
Ｇ０，Ｇ１の存在は自明であり、証明の必要はないのです。
その存在の証明を求めるのは、１は存在するか、２は存在するかと問うのと同じことです。

回答No.1

nananotanu

>なぜなら任意の空間は宇宙の部分であるからである

何故？