ε-n0論法を用いて、自然数のｎ乗が∞に発散することを示したいのですが

質問

ε-n0論法を用いて、自然数のｎ乗が∞に発散することを示したいのですがどうやったらいいですか?？

７のｎ乗を例に教えてください！

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

証明可能なんだから、「真理」ではあるでしょう。

「自明」としてよいか否かは、
その命題の持つ性質ではなく、
どのくらい詳細な証明書くかの問題です。

この問題の場合、7のn乗＞n を自明とするのは、
証明全体を「自明」で済ますのに等しいかと。

回答No.3

alice_44

そこを証明しろっていう問題でしょう？
No.2 では、7のn乗＞6n を示しましたよ。

補足

自分は特に示してなかったので気になったんです。

7のn乗＞n は自明の真理ではないってことですね。

回答No.2

alice_44

lim[n→∞] a^n が +∞ に発散するのは、a > 1 のときですね。
n 乗を二項展開して、
a^n = (1 + a - 1)^n = Σ[k=0…n] (nＣk)(a-1)^k > 1 + n(a-1) から
ハサミウチ(つかハキダシって感じ)を行えば示せますが…

ε-n0論法がしたいのなら、
「∀ε>0, ∃n0∈自然数, n>n0 ならば 7^n>ε」を示すことになります。
(→+∞ を示すので、最後が >ε になっていることに注意)
上と同様に二項展開をして、7^n > 1+6n ですから、
任意のεに対して、n0 > ε/6 の範囲で n0 を採れば、
(例えば、n0 = [ε/6]+1 とすれば)
n > n0 のとき、7^n > 1+6n > 6n > 6(n0) > ε となって成立します。

補足

7^n>nって証明なしに使ってもいいですかね？

回答No.1

Tacosan

1 の n乗は発散しません.

補足

正確には≠１ですね(^_^;)

でもなんとか解けたので大丈夫です！
ありがとうございました。