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高一の数学について
- 2x^2 + y^2 の最小値を求める問題について解説します。
- 軸の取り方についての説明を行います。
- 最終的に y = 4/3 のときに最小値が2となることを解説します。
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補足です x + 2y = 3 のとき、 2x^2 + y^2 の最小値を求めよ。 x = -2y + 3 として、2x^2 + y^2に代入すると 9( y - 4/3 )^2 + 2 =========================== ここからは 9( y - 4/3 )^2 + 2 ・・・（A） の最小値を求める話になります。 （新しく別の問題を解く感じです。） 当然ですがこの（A）の値はyの値によって変わります。 yがいくつの時に最小値をとるでしょうか。 これを考える際 t=9( y - 4/3 )^2 + 2 といった二次関数のグラフを考えれば最小値が求めやすいです。 別に y=9( x - 4/3 )^2 + 2 という式でxがいくつの時にyは最小値をとるのか と考えても使う文字が違うだけでやってることは同じです。 ですが、問題文ですでにx,yという文字は使われていて、ごっちゃになってしまうので t=9( y - 4/3 )^2 + 2 といった具合に、便宜的に文字tをつかって表しているのです。 （当然ですが別にtじゃなくて、aだろうがzだろうが別の好きな文字でも構いません。）
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- kujirakonbu
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y=9( x - 4/3 )^2 + 2 という関数があったとして、ｙの最小値の求め方はわかるでしょうか？ この場合、x=4/3 のときyは最小値2をとります。 問題の 9( y - 4/3 )^2 + 2 の最小値ですが、これは t=9( y - 4/3 )^2 + 2 としたとき、tの最小値を求めればいいということですよね。 このとき、y=4/3のときtは最小値2をとります。 上と見比べてみてください y⇒t x⇒y と使っている文字が変わっただけで、意味は同じであるということがわかっていただけますでしょうか？ >この「y」というのが横軸なんですか？ 上のように t=9( y - 4/3 )^2 + 2 としたとき、習慣的にtを縦軸、yを横軸でイメージすると思います。 しかしyを縦軸、tを横軸としてグラフを書くこともできます。 （こうしたグラフを書くためには、上の式を t=～ からy=～ に式変形すればよいと言えばイメージしやすいでしょうか） 合っているか合っていないというか、考えやすいかそうでないかですね。 >模範解答として >「x = 1/3 , y = 4/3 のとき最小値2」 >なんですが、これは >「x = 1/3 かつ y = 4/3 のとき」ですか？ >「x = 1/3 または y = 4/3のとき」ですか？ 「x = 1/3 かつ y = 4/3 のとき」です。 y = 4/3 のとき確かに、 9( y - 4/3 )^2 + 2 は最小値2をとります。 ですが問題文の条件をよく見てください。 x + 2y = 3 という条件式があります。 y = 4/3 であれば、この条件式より x = 1/3 は自動的に決定します。
- Tacosan
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まず, 「この『y』というのが横軸なんですか？」という質問ですが, これはある意味無意味な質問です. 横軸だと思えば横軸ですし, 縦軸だと思えば縦軸. 軸だと思わなければ, もちろん縦軸でも横軸でもありません. 次に, 「x = 1/3 , y = 4/3 のとき」は「x = 1/3 かつ y = 4/3 のとき」です. 最後の質問ですが.... ん～, これには「最大値・最小値を答えるときには, 値だけでなく『どのようなときにそれらの値となるのか』も答えるものだ」と答えておくのがいいかな.
補足
最初にでたyの値を条件式に代入してxも求めなければならない。 というのはわかりました。 しかし、グラフとして使った文字は「y」と「t」ですよね？ では、このxとは何者なんですか？ グラフと関係のある文字なのでしょうか？