インテグラルを微分する際に、頭が混乱してしまったので質問させてください

質問

インテグラルを微分する際に、頭が混乱してしまったので質問させてください。

Xという変数が連続変数Pの関数だとします。(Pの密度関数をg(P)>0とします。)fを最大化の仮定を満たしている、xの関数だとします。

目的関数Πが関数fのPに関する期待値、
Π=∫{f(x(P))g(P)}dP
となっている場合、このΠを最大化するx(P)を求めたいのですが、x(P)で微分するとどうなるでしょうか？(各Pの実現値に対応するx(P)を求めたいのです。)

例えば、Pが離散型(P=P1,P2,P3...,Pn)となっている場合は、
Π=Σ{f(x(P))g(P)}
=f(x(P1))g(P1)+f(x(P2))g(P2)+.....+f(x(Pn))g(Pn)

と書きなおせるため、例えば、任意のx(Pn)で微分すると、
dΠ/dx(Pn)=f'(x(Pn))g(Pn)=0
を満たすx(Pn)が最適解かと思いますが、Pが連続型の場合も、同じようにf'(x(Pn))g(Pn)=0
を満たすx(Pn)が最適解として大丈夫でしょうか。この場合連続型と離散型で解の求め方は異なりますでしょうか。

イメージで言うと、Pが生産物価格で、次期のPriceは現在では不明なため、次期の期待利潤を最大化する最適賃金を、現在、選ばなければならない時に、各Pが実現した場合の、条件付き賃金を求めたいのです。

すごく簡単化すると、例えば、PをP(Low)とP(High)の二通りでそれぞれ、1/2ずつの確率で実現するとすると、各状況が起こった場合の次期の賃金W(P=Low)とW(P=High)を求めたいのです。不況期のとき支払われる賃金はこれ、好況期のとき支払われる賃金はこれ、という風に、将来の期待利潤を最大化する賃金を、雇い入れの最初に契約に組み込む時の問題です。

長々とすみませんでした。

回答No.1

alice_44

x(P) には、質問文中に書かれた他に、
何かまだ条件があるんじゃないだろうか？

質問どおりの問題だとすると、
f(x) が最大値になるような x の値 X_0 によって
x(P) を定数関数 X_0 とすれば、
Π は明らかに最大となる。
これが求めたい解だとは、思いにくいが。

ちなみに、f( ) が最大値を持たない場合は、
Π に最大値は存在しない。