最大値を求める別解

質問

x^2+y^2+z^2=a^2 のとき、xy+yz+zx の最大値を求めよ。
ラグランジュの乗数とコーシーシュワルツの不等式の方法でない解答の仕方はないでしょうか。方針（ヒント）だけでよいです。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

たいした問題ではない。

＞方針（ヒント）だけでよいです

考えられる方針は2つある。

（解法-1）
x＋y＋z＝m、xy+yz+zx ＝n として、条件から、m＾2＝2n＋a＾2である。
xyz＝k とすると、xとyとzは　f（t）＝t＾3-mt＾2＋nt-k＝0の3つの実数解から、f´（t）＝0の判別式≧0として、求める。
ここから、mの値の範囲は定まるが、これは必要条件に過ぎないから、十分条件でもある事を確認する。

（解法-2）
x＋y＋z＝m、xy+yz+zx ＝n として、条件から、m＾2＝2n＋a＾2である。　‥‥と、ここまでは同じだが、今度は2次方程式と見よう。

y＋z＝m-x、n＝yz＋x（y＋z）とすると、2n＝m＾2-a＾2.
yとzは　2t＾2-2*（m-x）t＋2x＾2-2mx＋m＾2-a＾2＝0　の2つの実数解から　判別式≧0。
xの不等式が実数解を持つから、再度　判別式≧0。これでmの値の範囲が定まる。　

ここまで来たら、分るだろう。続きは自分でやって。

お礼

解法－１，２とも、確認できました。ありがとうございました。
１次関数とみなして、できないのか考えてしまいましたが、解法－１，２のように２次、３次方程式として考えればよかったのですね。
勉強になりました。

回答No.2

f272

ラグランジュの乗数とコーシーシュワルツの不等式の方法というのが，どういう方法なのか分かりませんが，この問題は
a^2-(xy+yz+zx)
=x^2+y^2+z^2-(xy+yz+zx)
=(1/2)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)
≧0
と言うことから明らかなのでは？
また，幾何的に考えると，まず対称性からx≧0,y≧0,z≧0で考えることにして
x^2+y^2+z^2=a^2は原点中心半径aの球であり，xy+yz+zxはそれに内接する直方体の表面積の半分ですから，やはりその最大値は明らかで直方体が実は立方体のときですね。

お礼

すみません。ａ~2が最大ですね。

補足

a^2>=xy+yz+zxは示されるが、最大がa^2といってよいのか・・・