教えて下さい。

質問

ご覧いただきありがとうございます。

「１辺の長さがaの正方形A1B1C1D1から出発して
　その各辺の中点と次図に示すように対応する各頂点を結んで、
　四辺形A2B2C2D2をつくる。
　四辺形A2B2C2D2が正方形であることを証明せよ。」

この問題を教えてください。

よろしくお願いします。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

四辺が等しいだけでは、
菱形であることしか言えず、
正方形とは言いきれませんね。

問題の図は 90°回転すると、ピッタリ重なり合うから、
辺の長さについて A2B2 = B2C2 = C2D2 = D2A2 が、
角について ∠A2B2C = ∠B2C2D2 = ∠C2D2A2 = ∠D2A2B2 が成り立つ。

四角形 A2BC2D2 は、
A2B2 = B2C2 = C2D2 = D2A2 より菱形であり、
∠A2B2C = ∠B2C2D2 = ∠C2D2A2 = ∠D2A2B2 より長方形でもある。
菱形かつ長方形である四角形は、正方形である。

…以上を手短に要約すると、「対称性より自明(証明終了)」。

お礼

遅くなって申し訳ありません；
丁寧なご回答、ありがとうございました。
大変勉強になりました。

感謝です。

回答No.3

B-juggler

すいません、図が違った。

三角形の合同で、同じように解けます。

中点をＡ１’（Ａ１とＢ１の間ね）　Ｂ１’　・・・　と、それぞれおいて

三角形Ａ１Ｂ１Ｂ１’　と　三角形Ｂ１Ｃ１Ｃ１’　以下略　が合同。

それと、三角形Ａ１Ａ１’Ａ２と三角形Ｂ１Ｂ１’Ｂ２が合同　以下略・・。

長さが全て等しくなりますね。
　（前のは消しておきますね）

お礼

遅くなって申し訳ありません；
丁寧なご回答、ありがとうございました。
大変勉強になりました。

感謝です。

回答No.2

Tacosan

全ての辺の長さが等しい長方形だから.
まあ, ほぼ明らかなんだけどね.

お礼

遅くなって申し訳ありません；
丁寧なご回答、ありがとうございました。
大変勉強になりました。

感謝です。

回答No.1

B-juggler

こんばんは。

図形でやれれば早いんだろうけど、直感的に

正方形になる！のは分かられると思います。

正方形の条件というか、いくつかありますね。

それをあげていきましょう♪

４辺の長さが等しい・４角が全て等しい（これは長方形でもいいね）なので×
対角線の長さが等しい（これも長方形がありえますね）×
対角線が直交する（これはひし形がありますね）×
・・・・・・・・
とまぁいろいろとありますが、

４辺の長さ　Ａ２Ｂ２＝Ｂ２Ｃ２＝Ｃ２Ｄ２＝Ｄ２Ａ２　が簡単に証明できると思います。

これで一発だと思うけど。

図形の取り方だけど、三角形Ａ１Ａ２Ｄ２≡三角形Ｂ１Ｂ２Ａ２≡・・・・

これで一発かな。
手書きで申し訳ないけど。こんな感じかな？
ｍ（＿　＿）ｍ

お礼

ご回答、ありがとうございました＾＾