ゴーシュ四辺形

質問

立体幾何の問題がわからないので質問します。
ゴーシュ四辺形ABCDは、添付した図のように対角線BDが分ける2つの三角形ABDとCBDとが、別々の平面上にあるものである。(もしほかの対角線ACを引けば、これと同じように2つの三角形BACとDACとは別々の平面上にある。また2つの対角線AC,BDは同一平面上にない。)という定義があって、
問題は、ゴーシュ四辺形の対辺が2組とも垂直であるときは、対辺の平方の和は相等しい事を証明する。
自分は、対辺の中点を結んで中点連結定理を使えば、各辺に平行な直線で長方形をつくれると考えたのですが、それでは、対辺の長さを比較するには、まわりくどそうですし、わからなかった。解説をよめば、四辺形の2隣辺を2辺とする平行四辺形を作れ。と書いてありました。対辺が垂直だから、解説のとおりに作った平行四辺形は、長方形になることがあり、その場合は隣辺の長さが違うので、証明できないとおもいます。もし解説のとおりに作った平行四辺形が、いつも正方形なら、証明はできると思いました。どなたかなぜ対辺の平方の和は相等しいのかを解説してください。お願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

題意より AB⊥CD , BC⊥DA である。

ABとADを辺にもつ平行四辺形ABEDをつくる。

AB//DE , AB⊥CD より CD⊥DEである。
よって三平方の定理より
CD^2 + DE^2 = CE^2
であり、また AB = DE であることから
CD^2 + AB^2 = CE^2 …①
といえる。

AD//BE , BC⊥DA より BE⊥BC である。
よって三平方の定理より
BE^2 + BC^2 = CE^2
であり、また AD = BE であることから
AD^2 + BC^2 = CE^2 …②
といえる。

①②より題意は示された。

お礼

平行な2直線l,mの、lに垂直な直線はmにも垂直。と三平方の定理を使う解説わかりやすかったです。ありがとうございます。