中学入試問題 算数

質問

中学受験の算数ですが、解けない問題があり、
どなたかご存知の方がおれれましたら
ご教授ください。

問　図のように、１辺の長さが4cmの正方形Aの各辺を３等分し、
　その中央の線を１辺とする小さな正方形を、正方形Aの
　外側に加えてできた図形をBとします。ただし、
　もともとあった中央の線は消すことにします。
　　さらに、図形Bで新たに加わった小さな正方形の各辺を３等分し、
　中央の線を１辺とする正方形を図形Bの外側に加えてできた図形をCとし、
　このあとも、同じ操作を繰り返し、次々に図形を作ります。

（1）　図形Bのまわりの長さを求めなさい。
（2）　上の操作を何回が行ったときにできた図形のまわりの長さが2000cm
　　　となりました。操作を何回行いましたか。

何卒、宜しくお願い致します。

回答No.2

englishquestion · ベストアンサー

図を書くのが面倒なので、書きませんが、
数字の流れを矢印で考えてみてください。

正方形の1辺だけに着目します。
また、しばらく1辺の長さ4cmも無視して1として考えます。

1箇所に着目すると、1回の操作によって、長さは、5/3 倍 になります。
1/3 に分けた小さい部分3つのうち、1つが3つになり、他の2つがそのままなので。
これは見ればお分かりになるかと思います。

この 5/3 倍 にする部分の数 と 対象にならない部分の数を考えます。
つまり、小さな正方形がくっつく場所の数と、つかない場所の数です。

最初は、ただの線ですから、
対象になる部分の数は1つ、
対象にならない部分の数はありません。
（まだ辺一つで考えています）

よって、元の長さ1は、操作1回行うと、
1x(1x(5/3)+0x1)= 5/3 になります。
この式は、わかりにくいかもしれませんが、
1つの部分の長さ x （対象となる部分の個数 が 5/3 され、対象とならない部分の個数はそのまま(x1)） という式です。
わかりますかね、、、

次の操作を考えます。
まず、対象となる場所の個数は、3か所です。
これは、前に追加された正方形の数1つに対して3か所あるからです。
1x3の3か所です。
また、対象となる場所の個数なんですが、2か所です。
前に追加された正方形の数1つに対して2か所発生します。
1x2の2か所です。
ただし、1箇所の長さは、初めの1/3になっています。

よって、元の長さ1は、操作2回目行うと、
(1/3)x(3x(5/3)+2x1)= 7/3 になります。
1つの部分の長さ x （対象となる部分の個数 が 5/3 され、対象とならない部分の個数はそのまま(x1)） という式です。

次の操作（3回目）を考えます。
まず、対象となる場所の個数は、9か所です。
これは、前に追加された正方形の数3つに対してそれぞれ3か所あるからです。
3x3の9か所です。（x3されていくことが予想されます）
また、対象となる場所の個数なんですが、2つに分けて考えます。
前に追加された正方形の数1つに対して2か所発生したものが、
3x2の6か所です。
また、前回対象にならなかった2か所がそのまま残ります。
前回対象にならなかったこの2か所は、
今回の計算では3倍して6として計算します。
1箇所の長さは、前回の1/3（つまり1/9）になるからです。
合計で12か所が対象外の個数（1/9の長さ換算の個数）となります。

よって、元の長さ1は、操作3回目行うと、
(1/9)x(9x(5/3)+12x1)= 9/3 になります。
1つの部分の長さ x （対象となる部分の個数 が 5/3 され、対象とならない部分の個数はそのまま(x1)） という式です。

さて、ここまで来ると規則性が見えてきます。
1→5/3→7/3→9/3 となっているからです。

もう1回やってみます。

次の操作（4回目）を考えます。
まず、対象となる場所の個数は、27か所です。
これは、前に追加された正方形の数9つに対してそれぞれ3か所あるからです。
9x3の27か所です。
また、対象となる場所の個数なんですが、2つに分けて考えます。
前に追加された正方形の数1つに対して2か所発生したものが、
9x2の18か所です。
また、前回対象にならなかった12か所がそのまま残ります。
前回対象にならなかったこの12か所は、
今回の計算では3倍して36として計算します。
1箇所の長さは、前回の1/3（つまり1/27）になるからです。
合計で54か所が対象外の個数（1/9の長さ換算の個数）となります。

よって、元の長さ1は、操作4回目行うと、
(1/27)x(27x(5/3)+54x1)= 11/3 になります。
1つの部分の長さ x （対象となる部分の個数 が 5/3 され、対象とならない部分の個数はそのまま(x1)） という式です。

ちゃんとなりました。

（１）図形Bの長さは4辺x4cmx(5/3)=80/3 cm です。
（２）4辺x4cmx(◯/3)=2000 cm となる、◯を求めると、375となります。
1回目で5、2回目で7、3回目で9、・・・ と+2されていき、375になるのが
何回目かを数えると、(375-5)/2 + 1 回目、つまり、186 回目になります。

中学入試なので、規則性をカンで見つけて当てはめればよいはずですが、時間もないですし、難しい問題かと思います。

お礼

事細かく有難うございました。
読み解きながら考えてみます。

回答No.1

spring135

（2）　上の操作を何回が行ったときにできた図形のまわりの長さが2000cm
　　　となりました。操作を何回行いましたか。

2000cmになることは決してありません。問題を正しく記載してください。