連続の式の極(円筒)座標変換(2次元非圧縮)

質問

はじめまして。
下記の問題が解けなくて困っております。

2次元非圧縮性流体の連続の式は，速度u, vを用いると，
∂u/∂ｘ + ∂v/∂y = 0 -------------(1)
で示される。
一方、極(円筒)座標の場合には，UR, Uθを用いて
∂(rUR)/∂r + ∂Uθ/∂θ = 0 --------------(2)
で示される。
この時、
u=URcosθ-Uθsinθ
v=URsinθ+Uθcosθ
および，
x=rcosθ, y=rsinθ
の関係を用いて(2)式を導出せよ。

当方、社会人ですが最近、流体に関して勉強する必要が生じました。
周りに聞ける人がおりませんもので、何卒ご教授よろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#185706

>当方、社会人ですが最近、流体に関して勉強する必要が生じました。

（２）式の導出が自分でできないままでは、この先、困ることが多いと思います。そのたびにここで質問するわけにはいかないでしょう。大学レベルのベクトルの勉強で必ず出てくる事柄ですから、教材には事欠きません。自習してください。

変数変換の計算を地道に実行して（２）式を導けたら、（１）式が
　　速度ベクトルの発散　＝　０　
を表していることに着目して、図の上で流体の質量の保存を考えて（２）式を導いてみるとよいでしょう。実は、この方が計算量がはるかに少なくてすみます。この導出法も、ベクトルや流体の勉強ではおなじみのものです。

なお、（１）式と（２）式は次元が違いますね。連続の式の本来の形では、（２）式の左辺に因子　1/r　がかかります。