整級数の収束半径

質問

まず、新年あけましておめでとうございます。
さっそく、質問ですなのですが、
Σ n=0～∞ {(n!)^2}/{(2n)!}*{Z^(2n+1)}
の収束半径の求め方を教えて欲しいです。

Z^(2n+1)をZ*Z^(2n)にわけて、W=Z^2と置いて・・・
っと、解こうとしたのですが、
Z*Z^(2n)のZをどうすればいいのかわかりません。
Zはnがついていないので、Σの前に出せそうなんですが・・・

その辺を中心に教えて欲しいです。

回答No.1

keyguy

収束半径を公式で覚えていると脳がしんどいし本質を見あやまります。

｜（ｎ＋１）番目の項÷ｎ番目の項｜の極限が
１より大きいと発散
１より小さいと収束
従って
｜（ｎ＋１）番目の項÷ｎ番目の項｜の極限が１に等しいときの｜Z｜が収束半径です。

変なわけ方をする必要張りません。
証明を見れば分かりますがこの公式は等比級数の公比が１より大きいときに発散１より小さいときに収束という内容以上のものではないのです。
要するに公式と覚える価値が無いものなのです。

｜（ｎ＋１）番目の項÷ｎ番目の項｜は公比的なものです。

これを踏まえて補足してください。

お礼

遅くなりました。
回答ありがとうございます。