2次方程式についての問題です

質問

xの方程式4x^2-8ax+a=0 が、0<x<1において少なくともひとつの解をもつという条件を満たす定数aの値の範囲を求めよ
という問題なのですが、
f(x)=4x^2-8ax+a=4(x-a)^2-4a^2+aとおいて、また、与えられた方程式の判別式をDとし、
(ⅰ)a<0のとき
f(0)<0となるようなaの値の範囲を求めて、a<0

(ⅱ)a=0のとき
4x^2=0 となり、x=0となるので、0<x<1の範囲で解を持たないため不適

（ⅲ）0<a<1のとき
D≧0となるaの値の範囲を求めて、a≦0,1/4≦a　これと
0<a<1より、　1/4≦a≦１

（ⅳ）1<aのとき
f(1)<0　となるようなaの値の範囲を求めて、4/7<a
これと1<a　より、1<a

以上（ⅰ）～（ⅳ）の範囲をあわせて、
a<0,1/4≦a

と考えたのですが、どうも少し方針を間違っているような気がします。
そこで、間違っているところや、正しいとき方などを教えてください。
お願いします。（答えは上記のようになってました。）

回答No.3

noname#109344

もう少し検討事項を増やしたほうがよいと思います。
f(x)=4x^2-8ax+a=4(x-a)^2-4a^2+a　より、y=f(x)のグラフの軸はx=aである。
(i)a<0のとき
f(0)<0となるようなaの値の範囲を求めて、a<0
かつ、ｆ（１）＞０も検討すべきです。（ｆ（１）＜０だと2つの解がｘ＞１とｘ＜０になってしまいます）
その条件はｆ（１）＝４－７ａ＞０　となる。これはａ＜０より常に正しい。
よって、a<0
(ii)a=0のとき　（質問にあった考え方で合っていると思いますので省略）
（iii）0<a<1のとき
D≧0となるaの値の範囲を求めて、a≦0,1/4≦a　これと
0<a<1より、　1/4≦a≦１
→0<a<1なら、1/4≦a＜１です。
かつ、ｆ（０）＞０またはｆ（１）＞０を検討すべきです。
（両方とも負だと2つの解がｘ＞１とｘ＜０になってしまいます）
で、ｆ（０）＝ａであり、ａ＞０なので、1/4≦a＜１の範囲で常に正しい。
よって、1/4≦a＜１
追加で、
（v）（本来はivでしょうが）　ａ＝１
４ｘ＾２－８ｘ+１=０　解いて　ｘ=１±√３／２　０＜１－√３／２＜１　よってａ＝１は成り立つ。
（iv）1<aのとき
f(1)<0　となるようなaの値の範囲を求めて、4/7<a
これと1<a　より、1<a
かつ、ｆ（０）＞０も検討すべきです。（ｆ（０）＜０だと2つの解がｘ＞１とｘ＜０になってしまいます）
その条件はｆ（０）＝ａ＞０　となる。これはａ＞０より常に正しい。
よって、1<a

上記考察より、a<0,1/4≦a　である。
となると思います。

回答No.2

OKXavier

a=1　の場合が落ちている．

この問題の場合，区間(0,1)で解をもたないaの範囲から
求めると，

f(x)=4x^2-8ax+a=0
とおき，
まず，D/4=4a(4a-1)<0　から，0<a<1/4　…(1)

軸a>1　かつ　f(1)≧0　かつ　f(0)>0　…(2)
軸a≦0　かつ　f(1)>0　かつ　f(0)≧0　…(3)
f(0)≦0　かつ　f(1)≦0　…(4)

(2),(4)はφ,(3)からa=1　…(5)

したがって，区間(0,1)で解をもたないaの範囲は
(1)または(5)から，0≦a<1/4

ゆえに，区間(0,1)に少なくとも１つ解をもつaの範囲は
a<0,1/4≦a

回答No.1

nag0720

考え方の方針は合ってますが、
(iii)は、0<a<1のときなので、結果は1/4≦a＜1です。
また、a=1の場合の検証が抜けてます。

次のような考え方もあります。

f(x)=4x^2-8ax+a=0が、0<x<1において少なくともひとつの解をもつ
↓
判定式≧0　で
f(0)＜0かつf(1)＞0　または　f(0)＞0かつf(1)＜0　または　f(0)≧0かつf(1)≧0かつ0＜a＜1（放物線の頂点のx座標が0～1の間にある）　
↓
（a≦0　または　1/4≦a）かつ
（a＜0かつ4-7a＞0　または　a＞0かつ4-7a＜0　または　a≧0かつ4-7a≧0かつ0＜a＜1）　
↓
（a≦0　または　1/4≦a）かつ（a＜0　または　a＞4/7　または　0＜a≦4/7）　
↓
（a≦0　または　1/4≦a）かつ　a≠0　
↓
a＜0　または　1/4≦a