ベクトルの成す角

質問

よく線形代数などで
x,y∈R^nのとき
x,yの成す角を<x,y>=|x||y|cosθ　なるθとして定義していますが
本当は3点0,x,yを含む円と半直線0x,0yからできる扇形の中心角として
定義してこの定義が<x,y>=|x||y|cosθ
も成り立たせると理解したいのですが
どうしたら<x,y>=|x||y|cosθを示せるのでしょうか？

まず、半直線0x,0yを含む平面の単位法線ベクトルは
(x×y)/|x×y|となり
中心0,半径1の上の法泉と垂直な(i.e. 平面に含まれる)円
の円周に沿ってx/|x|からy/|y|まで積分したらよいと思いました。
この積分はどのようにしたらできるでしょうか？

回答No.1

eatern27 · ベストアンサー

内積とは無関係に、「角度」を定義したいのだと思いますが、何を「角度」と呼ぶのかが問題になると思います。
n=2,3では、「分度器」を使って測った角度と一致する事が要請されると思います。しかし、直感的にイメージできない(少なくとも私には)、４次元以上の空間での角度をどう定義しましょう？

1つ考えられるのは、４次元以上でも、「分度器」を使って角度を測るという事でしょうか。つまり、ｘとｙが張る２次元平面(部分空間)で、角度を求めて、それをＲ＾ｎの角度だと思うのです。(分度器で角度を測る場合、「紙」という２次元平面上で角度を測ってますよね)
そこで、次のような仮定をおきます。

・R^nの任意の2次元部分空間は、ユークリッド空間とみなせる。(従って角度が定義されている。まぁ、E^2における内積を使って定義していると考えてもいい)

この仮定をおけば、
1.xとyの張る2次元部分空間を考える。(xとyが平行な場合には、xとyを含むものを１つとる)
2.この2次元部分空間上で、角度を求める。
3.ここで求めた角度をR^nで、xとyのなす角と定義する
という風にして、R^nにおける角度を定義することができるのではないでしょうか。

この定義では、内積による定義と一致するのは明らかでしょう。

ところで、
>まず、半直線0x,0yを含む平面の単位法線ベクトルは
>(x×y)/|x×y|となり
>中心0,半径1の上の法泉と垂直な(i.e. 平面に含まれる)円
>の円周に沿ってx/|x|からy/|y|まで積分したらよいと思いました。
直交やノルムの概念は、多くの場合内積を使って定義されますが、ここで内積の概念を使うことは問題ないのでしょうかね？

お礼

ありがとうございます.
最近誰も回答してくれない質問があったので大変嬉しいです.
内積とノルムによる角度の定義は天下り的です.
自然な定義は半径1の扇形の弧の長さを角度とする定義だと思います.

>ところで、
>まず、半直線0x,0yを含む平面の単位法線ベクトルは
>(x×y)/|x×y|となり
>中心0,半径1の上の法泉と垂直な(i.e. 平面に含まれる)円
>の円周に沿ってx/|x|からy/|y|まで積分したらよいと思いました。
>直交やノルムの概念は、多くの場合内積を使って定義されますが、
>ここで内積の概念を使うことは問題ないのでしょうかね？
|a|:=√<a,a>
は使ってもいいと思います. (三平方の定理の自然な拡張なので)
直交は特別な角なので内積で定義するのがここでの趣旨に反します.ですから単位法線ベクトルを用いずに平面の方程式を作る必要があるかもしれません.これは2つの線形独立なベクトルで生成されると思えばすむ話だと思います.

ただすっきりした理解にしたかったら成す角を内積・ノルム・cosで定義してそれが0x,0y上の長さ1の線分を半径とする扇形の弧の長さと等しくなることを後から証明する方がいいかもしれないと思いました.

回答No.3

eatern27

2次元ユークリッド空間では、内積による定義と、弧長による定義が一致する、という事はいいですよね？

n次元ユークリッド空間であっても、その２次元部分空間を考えれば、２次元ユークリッド空間と同様に、内積による定義と弧長による定義が一致します。

>自然な定義は半径1の扇形の弧の長さを角度とする定義だと思います.
>これは2つの線形独立なベクトルで生成されると思えばすむ話だと思います.
x,yの張る平面上の円弧の長さで、x,yの角度を定義するのであれば(他の定義もありますが、結局、この定義と一致する)、
x,yの張る平面(２次元部分空間)上で、弧長と内積による角度が一致するので、ｎ次元に戻して考えても、弧長と内積による角度は一致するはずですよね。

というより、この事を念頭において、内積を使って角度を定義しているのだと思いますが。

お礼

ありがとうございます．
全空間がn次元でも2次元部分空間で考えれば
全体が2次元の場合と同じと考えればいいんですね．
それで実際に積分をして確認したかったら座標を変換して2次元空間と同じ式にしたらいいと思いました．

>というより、この事を念頭において、内積を使って角度を定義しているのだと思いますが。
そのようなことを考えませんでした．
単純に同じ式をn次元にも拡張したとしか考えてませんでした．勉強になりました．

回答No.2

eatern27

#1です。追加。

もし、ノルムが定義された空間を考えているのであれば、
|x-y|^2=|x|^2+|y|^2-2|x||y|cosθ　(余弦定理)
から、θを定義してもいいかもしれません。