数Bベクトル、2平面のなす角のコサイン

質問

2平面{2x+y+2z=1,2x-2y+3z=6}のなす角θのcosを求めよ。

この問題なんですが、自分は以下のように解いてみました…

2x+y+2z=1の法線ベクトルは(2,1,2)
2x-2y+3z=6の法線ベクトルは(2,-2,3)

これらのなす角は180-θになるので(多分)
cosθ=-cos(180-θ)=-(4-2+6)/{√(4+1+4)√(4+4+9)}
=-8/3√17
=-8√17/51

しかし答えが3√17/51となっていて、
どこで間違えているのでしょうか。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞=-8√17/51
＞しかし答えが3√17/51となっていて、
＞どこで間違えているのでしょうか。

　それは、解答のミスプリではないでしょうか。
　答えが「3√17/51」でしたら、約分できて、√17/17としなければならないはずです。恐らく３と８の誤植でしょう。

　私も計算してみましたが、質問者さんと（符号を除いて）同じ答えになりましたよ。
　ただ、計算過程を拝見して気が付いたのは、法線ベクトルのcosθを求める際に、180度から引いて求めた点です。
　もし答えを1つだけしか書かないのであれば、ここはそのままcosθとして求めたほうがベターです。また、もし、なす角を鋭角に限定するならば、解は正でなければなりません。

　平面のなす角ですから、一つの角をθとすれば、必ずその補角の(180°－θ)があるわけで、そのどちらのcosも答えですが、与えられた問題では、平面の法線ベクトルが分かりやすいように記述されていますので、そのまま読み取ってできた法線ベクトルのなす角をｃｏｓθとされたほうがよいように思います。
　従って、もし1つだけを書かなければならないときは、そのまま問題から読み取れる法線ベクトルからｃｏｓθを求め、もし2つ書くことができるのなら、±8√17/51と両方書くほうがよいと思います。

お礼

>それは、解答のミスプリではないでしょうか。
すみません、私のうち間違い(読み間違い)でした。
詳しく説明をありがとうございました。
とてもわかりやすかったです。

回答No.2

kkkk2222

基本的には貴殿の考え方で、正しいです。
問題を読み違えていないか、確認して下さい。

＊２平面のなす角は、ふたつあります。結果、cosθもふたつあります。
＊どちらを書いても正解です。
公式の試験では、混乱を防ぐために、何らかの指定があります。

＊ベクトルで解くと、解はひとつになります。
解がＡならば、－Ａも解です。

＊180-θ　とするのは、（正しい）とも、（無駄）ともとれます。
＊θで出した解も、180-θで出した解も、ＡとーＡの関係になります。

お礼

180-θとしたのは、
平面1,法線ベクトル1,平面2,法線ベクトル2、
それぞれの交点からなる四角形は法線ベクトルと平面が直交しているため、
法線ベクトルと法線ベクトルがなす内側の角と
平面と平面のなす内側の角の和180度になることからです。
教科書に載っている内積はどれも内側の角をつかって書いてあったので、
外側の角(=この場合は鈍角)でもいいとは知りませんでした。

ありがとうございました。