電磁場エネルギーのベクトル演算

質問

電磁場のエネルギー表式（Coulomエネルギーは除く）で
Ｈrad＝∫dx(ε0E^2＋(1/μ0)(∇×Ａ)・(∇×Ａ)
という式にぶつかり、その式の計算で困っています。第２項目はテキストによれば、部分積分と∇・Ａ＝０の関係式を使って
∫dx(∇×Ａ)・(∇×Ａ)＝∫dx(∂iＡi)(∂jＡj)
になると書かれていますが、サッパリでてきません。一応ベクトル解析の公式
(∇×Ａ)・(∇×Ａ)＝(∇・∇)(Ａ・Ａ)－(Ａ・∇)(∇・Ａ)
までは分かるのですが、それから先が、、、ちなみにＡはベクトルポテンシャルです。どなたか一つご教授していただけないでしょうか。

回答No.1

noname#108554

たぶん、ならないと思いますが。
添え字をもう一度確認してみてください。おそらく、
∫dx(∇×Ａ)・(∇×Ａ)＝∫dx(∂jＡi)(∂jＡi)
になってると思います。でなければ、問題が間違っているか、
私の計算が間違っているか、です。

方針は、
1.rotAを反対称テンソル形式で書く
2.反対称テンソルの公式を使ってクロネッカーデルタで書き直す
3.GreenかGaussか忘れたけどそのへんのやつを使って表面積分項を消す
4.クーロンゲージを使っているようなのでdivA項を消す
5.もう一度、表面積分項を消すやり方でナブラを移動させる。

以上です。難しいのは「反対称テンソルの公式」だと思いますが、
web上に見つけられなかったので適当な教科書を見るか
2番目の人に聞くか、しましょう。

テンソルを使わなくても出来るはずですが、
せっかく(∂iＡi)(∂jＡj)という表記を使っていることなので
そのほうが慣れれば楽です。

お礼

回答ありがとうございました。ご指摘の通り添え字を間違っていました(^^);。ところでrotＡを反対称テンソル形式で書く・・・う～ん、行列形式は知っていますが凄いテクニックがあるのですね。ベクトル解析のテキストは持っていますが、公式が載っていれば見っけもんですね。是非このテクニックを知りたいもんです。
方針の第１段階で躓きそう。喉に引っかかった魚の骨が気になる状態がしばらく続きそう。

補足

何とか力技で仕留めましたのでレポートしておきます。
これで喉に引っかかった魚の骨が取れたような、、、
計算の道具として(1)ベクトル解析の公式と(2)Gaussの定理を使います。
(1)∇×∇×Ａ＝∇(∇・Ａ)－∇^2Ａ
　∇×Ａ・Ｃ＝∇(Ｃ×Ａ)＋Ａ・∇×Ｃ
∴∇×Ａ・∇×Ａ＝∇(∇×Ａ×Ａ)＋Ａ・∇×∇×Ａ
(2)∫∇・ＡdV＝∫Ａ・dS・・・空洞の表面積分は周期的境界条件
＜計算＞
∫dv∇×A・∇×A＝∫dv(∇(∇×A×A)＋A・∇×∇×A)
＝∫dS(∇×A×A)＋∫dv(A・∇×∇×A)
＝∫dvA・(∇(∇・A)-∇^2A)　・・・表面積分は０となる
＝-∫dvA・∇^2A
＝－[A・∇A]＋∫dv∇A・∇A　・・・CoulombGaugeで第1項０
＝∫dv(∂iAi∂jAj)
以上。ibm_111さんのアドバイスありがとうございました。