[高校数学II]高次方程式の解の候補

質問

高次方程式の解の候補を見つける際、
「±(定数項の約数)/(最高次の係数の約数)の中に因数定理を満たす解の候補があることが多い」
というのをたまに聞きますが、これは何者(？)なんでしょうか？
文末も曖昧で誰が言い出したのかも分からず、しかしながらいざ高校範囲の高次方程式に取り組んでみると確かにこの方法で解の候補が見つかることが多いです。
教科書や、カタい感じの参考書には載っていないことから、これは一種のコツ・裏技的なもので、「無数にある解の候補を絞り込みやすくするために、多くの入試出題者がお情け(？)でこの『±(定数項の約数)/(最高次の係数の約数)の中に因数定理を満たす解の候補』を配置してあげているだけ」と捉えていますが、この程度の認識で良いのでしょうか？
それとも何か数学的な意味のあるものなんでしょうか？

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

A No.2 のとおりなので、
「±(定数項の約数)/(最高次の係数の約数)の中に因数定理を満たす解の候補があることが多い」
という話は、
「出題される整係数方程式は、有理数解を持っていることが多い」
ということを言っているのです。
後半は、入試問題についての経験則です。

No.2 の定理の証明 :
高次方程式 a[n]・x^n + a[n-1]・x^(n-1) + … + a[1]・x + a[0] = 0 が
有理数解 x = p/q (既約分数 : p と q は互いに素) を持っているとします。

x を 代入すると、
a[0]・q^n = -p・{ a[n]・p^(n-1)・q^0 + a[n-1]・p(n-1)・q^1 + … + a[1]・p^0・q^(n-1) }
と変形できます。
a[ ] が全て整数であれば、p は左辺の約数になりますが、
p と q は互いに素なので、p は a[0] の約数です。

q が a[n] の約数であることも、
a[n]・p^n = -q・{ a[n-1]・p^(n-1)・q^0 + a[n-2]・p(n-1)・q^1 + … + a[0]・p^0・q^(n-1) }
から同様に示せます。

お礼

詳しく証明までして頂いてありがとうございました。
よく分かりました。

回答No.4

hugen

f(X)=aX^5+・・・+c
f(q/p)=0　　とすると
aX^5+・・・+c=(pX-q)(a'X^4+・・・+c')=pa'X^5+・・・-qc'　　　
a=pa'　→　p=(aの約数)
c=-qc'　→　q=(cの約数)

お礼

よく分かりました。
ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

整数係数代数方程式の有理数解は, 存在すれば必ず
「±(定数項の約数)/(最高次の係数の約数)」
という形になります.

お礼

初めて知りました！
意外と幅広く使える事項だったんですね。
ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

3次以上の高次方程式が「解ける」場合には、因数分解が必ず使われることになります。
（特別な場合や問題の誘導によっては、そうならないものもあるかもしれませんが）
もとの方程式（の左辺）が因数分解できるときに、その定数項に注目してみます。

たとえば、3次方程式において
ax^3+ bx^2+ cx^2+ d＝ a(x-α)(x-β)(x-γ)

と因数分解されたとなると、係数比較より d/a＝ -αβγとなります。
逆にいえば、因数分解（方程式の解）の候補が -d/aの因数として含まれているということになります。

ですので、きちんと意味はありますよ。

お礼

こんばんわ、お久しぶりです。
なるほど、言われれば確かに納得しました！
質問する前に解と係数の関係なども含めてもう少しじっくり考えてみるべきでした、お手間とらせてすみませんでした。
回答ありがとうございました。