至急 高校数学

質問

y=x^2-bx+b^2-5bx
がx軸と異なる２点A、Bで交わるような定数ｂの値は
0<b<20/3　…(1)
また線分ABの長さは√ー3b^2+20b

bが(1)の範囲内の整数であるとき、線分ABの長さが最小となる
bを求めよ。

こういう最小を求めよ系の問題のがでるといつもどう解いてよいのかわからず手がとまってしまいます。
この際に、ちゃんとした解法を手にしたいとおもうので
誰か分かりやすい解答解説　解法の伝授の方よろしくおねがいしますでござm（_　_）m

回答No.3

ziziwa1130 · ベストアンサー

0<b<20/3の整数ですから、b=1,2,3,4,5,6だということは分かりますよね？
√(-3b^2+20b)が最小になると言うことは、-3b^2+20bが最小ということも分かりますよね？
f(b)=-3b^2+20bとおくと
f"(b)=-6
f(b)が二次関数で、グラフが上に凸の放物線になることが分かり、ABの長さが√(-3b^2+20b)ということはf(b)>0が条件です。これから0<b<20/3が導き出された筈です。ここでy=f(x)のグラフを思い浮かべてみて下さい。(0,0)と(20/3,0)でx軸と交わる上に凸の放物線です。つまり、極大値をとるxの位置を中心に左右対称ですから、b=1とb=6のいずれかであることが分かります。
従って、f(1)とf(6)の値を比較して、小さいほうの値が最小値になります。
f(1)=√(-3×1^2+20×1)
=√17
f(6)=√(-3×6^2+20×6)
=√12
f(1)>f(6)であるから、
線分ABの長さが最小になるbの値は
b=6

お礼

ありがとうございました

回答No.2

soixante

考え方
１．何を聞かれてるんだっけ？　→　ＡＢの長さが最小となる b　か。

２．ＡＢの長さって？　→　なんと、もう式になってる。「線分ABの長さは√ー3b^2+20b」

３．じゃあ、-3b^2+20b　の最小値を出せばよいのか

４．とりあえずグラフ書いておこうか。　f(b)= -3b^2+20b

５．書いてみたら上に凸だ。最小値？　あ、そういえば　ｂに条件があったな。

６．条件は「 0<b<20/3　の整数」　だった。

７．となると、この範囲の整数は、「～、～、～、・・・」　だな。

８．グラフの形から考えると、～と～のどっちかが最小値だ。
計算してみよう。

あなたが手が止まってしまうというのは、グラフを書いた後ですか。
グラフを書けなくて手が止まるというのなら、まずはそこから練習でしょう。
グラフは書けるというのなら、その形を見つめてみましょう。なにかしら思いつくと思いますが。

回答No.1

koko_u_u

AB の長さは b で表わされているのだから、まずはそのグラフを書きましょう。
すると条件(1)はほとんど蛇足だとわかります。